ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 7

**a)** $y = \sqrt[3]{x}$, $[-1; 1]$ Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена и непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, в том числе и на отрезке $[-1; 1]$. Найдём производную функции при $x \neq 0$: $$ y' = (\sqrt[3]{x})' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ При всех $x \neq 0$ выражение $x^2 > 0$, следовательно, $y' > 0$. В точке $x = 0$ производная не существует, но функция в ней непрерывна. Так как производная положительна на всей области определения (кроме точки $x = 0$), функция $y = \sqrt[3]{x}$ является строго возрастающей на отрезке $[-1; 1]$. Значит, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом: $$ y_{\text{наим}} = y(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1 $$ $$ y_{\text{наиб}} = y(1) = \sqrt[3]{1} = 1 $$ Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$. --- **b)** $y = 4\sqrt{x} - x$, $(0; 5]$ Функция непрерывна на промежутке $(0; 5]$. 1. Найдём производную функции: $$ y' = (4\sqrt{x} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $$ 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$ \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0 \implies 2 - \sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 $$ Критическая точка $x = 4$ принадлежит промежутку $(0; 5]$. 3. Определим знаки производной на промежутках: — при $x \in (0; 4)$: $\sqrt{x} < 2$, значит, $y' > 0$ — функция возрастает; — при $x \in (4; 5]$: $\sqrt{x} > 2$, значит, $y' < 0$ — функция убывает. Следовательно, $x = 4$ — единственная точка максимума на данном промежутке, и в ней функция достигает наибольшего значения: $$ y_{\text{наиб}} = y(4) = 4\sqrt{4} - 4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4 $$ 4. Исследуем наименьшее значение: На правом конце промежутка значение функции равно: $$ y(5) = 4\sqrt{5} - 5 \approx 4 \cdot 2{,}236 - 5 = 3{,}944 $$ При приближении к левому концу промежутка ($x \to 0+$): $$ \lim_{x \to 0+} (4\sqrt{x} - x) = 0 $$ Так как точка $x = 0$ не принадлежит промежутку $(0; 5]$, а при всех $x \in (0; 5]$ выполняется неравенство $y(x) > 0$, значение $0$ не достигается. Следовательно, наименьшего значения на полуинтервале $(0; 5]$ не существует *(если бы рассматривался отрезок $[0; 5]$, наименьшее значение равнялось бы $y(0) = 0$)*. Ответ: $y_{\text{наиб}} = 4$, наименьшего значения не существует. --- **6)** $y = \sqrt[5]{x}$, $[-2; 2]$ Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена и непрерывна на отрезке $[-2; 2]$. Найдём производную функции при $x \neq 0$: $$ y' = (\sqrt[5]{x})' = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} $$ При всех $x \neq 0$ выражение $x^4 > 0$, поэтому $y' > 0$. В точке $x = 0$ производная не существует, но функция в ней непрерывна. Следовательно, функция $y = \sqrt[5]{x}$ строго возрастает на отрезке $[-2; 2]$. Своего наименьшего значения она достигает в левом конце отрезка, а наибольшего — в правом: $$ y_{\text{наим}} = y(-2) = \sqrt[5]{-2} = -\sqrt[5]{2} $$ $$ y_{\text{наиб}} = y(2) = \sqrt[5]{2} $$ Ответ: $y_{\text{наим}} = -\sqrt[5]{2}$, $y_{\text{наиб}} = \sqrt[5]{2}$. --- **7)** $y = 2\sqrt{x} - x$, $(0; 2]$ Функция непрерывна на промежутке $(0; 2]$. 1. Найдём производную функции: $$ y' = (2\sqrt{x} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $$ 2. Найдём критические точки: $$ \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0 \implies 1 - \sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит промежутку $(0; 2]$. 3. Определим знаки производной: — при $x \in (0; 1)$: $\sqrt{x} < 1$, значит, $y' > 0$ — функция возрастает; — при $x \in (1; 2]$: $\sqrt{x} > 1$, значит, $y' < 0$ — функция убывает. Значит, $x = 1$ — точка максимума, и в ней функция принимает наибольшее значение: $$ y_{\text{наиб}} = y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 1 $$ 4. Исследуем наименьшее значение: На правом конце промежутка: $$ y(2) = 2\sqrt{2} - 2 > 0 $$ При $x \to 0+$ значения стремятся к $0$: $$ \lim_{x \to 0+} (2\sqrt{x} - x) = 0 $$ Так как $x = 0 \notin (0; 2]$, а при всех $x \in (0; 2]$ верно $y(x) > 0$, нижняя грань $0$ функцией не достигается. Следовательно, наименьшего значения на полуинтервале $(0; 2]$ не существует *(на отрезке $[0; 2]$ оно было бы равно $y(0) = 0$)*. Ответ: $y_{\text{наиб}} = 1$, наименьшего значения не существует.