ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 10

### 5.10 **а) $y = x^3 - 3x^2$ на отрезке $[-1; 3]$** 1. Найдём производную функции: $$ y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) $$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 $$ Обе точки $x = 0$ и $x = 2$ принадлежат отрезку $[-1; 3]$. 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: - $y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 = -1 - 3 = -4$; - $y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$; - $y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$; - $y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 = 27 - 27 = 0$. 4. Сравнивая полученные значения, выбираем наибольшее и наименьшее: $$ \max_{[-1; 3]} y = 0 \quad (\text{при } x = 0 \text{ и } x = 3) $$ $$ \min_{[-1; 3]} y = -4 \quad (\text{при } x = -1 \text{ и } x = 2) $$ **Ответ:** $\max = 0$, $\min = -4$. --- **б) $y = x^3 + 3x$ на отрезке $[-1; 2]$** 1. Найдём производную функции: $$ y' = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) $$ 2. Так как $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных $x$, то $y' > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Критических точек нет, функция строго возрастает на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1; 2]$. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка: - $y(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1) = -1 - 3 = -4$; - $y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14$. 4. Наибольшее значение достигается на правом конце, а наименьшее — на левом: $$ \max_{[-1; 2]} y = 14 \quad (\text{при } x = 2) $$ $$ \min_{[-1; 2]} y = -4 \quad (\text{при } x = -1) $$ **Ответ:** $\max = 14$, $\min = -4$. --- **в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$** 1. Найдём производную функции: $$ y' = (2x^3 - 6x^2 + 9)' = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) $$ 2. Найдем критические точки: $$ 6x(x - 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 $$ Обе точки принадлежат отрезку $[-2; 2]$ ($x = 2$ совпадает с правой границей отрезка). 3. Вычислим значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка: - $y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 9 = 2 \cdot (-8) - 6 \cdot 4 + 9 = -16 - 24 + 9 = -31$; - $y(0) = 2 \cdot 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 = 9$; - $y(2) = 2 \cdot 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 = 16 - 24 + 9 = 1$. 4. Сравнивая значения, определяем максимум и минимум: $$ \max_{[-2; 2]} y = 9 \quad (\text{при } x = 0) $$ $$ \min_{[-2; 2]} y = -31 \quad (\text{при } x = -2) $$ **Ответ:** $\max = 9$, $\min = -31$. --- **г) $y = x^3 - 3x$ на отрезке $[-2; 3]$** 1. Найдём производную функции: $$ y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ 2. Найдем критические точки: $$ 3(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ Обе точки принадлежат отрезку $[-2; 3]$. 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: - $y(-2) = (-2)^3 - 3 \cdot (-2) = -8 + 6 = -2$; - $y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$; - $y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$; - $y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$. 4. Сравнивая полученные значения, находим максимум и минимум: $$ \max_{[-2; 3]} y = 18 \quad (\text{при } x = 3) $$ $$ \min_{[-2; 3]} y = -2 \quad (\text{при } x = -2 \text{ и } x = 1) $$ **Ответ:** $\max = 18$, $\min = -2$.