ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 68

а) $f(x) = \sin x$ Найдем первые несколько производных функции, чтобы выявить закономерность: $$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ $$ f''(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ $$ f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x $$ $$ f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x $$ Четвертая производная совпала с исходной функцией $f(x) = \sin x$, поэтому значения производных повторяются с периодом $4$: $$ f^{(4k)}(x) = \sin x, \quad k \in \mathbb{N} $$ Так как число $200$ делится на $4$ без остатка ($200 = 4 \cdot 50$): $$ f^{(200)}(x) = \sin x $$ б) $f(x) = \cos x$ Найдем последовательные производные данной функции: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ $$ f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x $$ $$ f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x $$ $$ f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x $$ Через каждые $4$ дифференцирования функция возвращается к исходному виду: $$ f^{(4k)}(x) = \cos x, \quad k \in \mathbb{N} $$ Так как $200 = 4 \cdot 50$: $$ f^{(200)}(x) = \cos x $$ в) $f(x) = e^x$ Производная экспоненциальной функции равна самой этой функции: $$ f'(x) = (e^x)' = e^x $$ $$ f''(x) = (e^x)' = e^x $$ Следовательно, для любого натурального $n$ производная $n$-го порядка сохраняет свой вид: $$ f^{(n)}(x) = e^x $$ При $n = 200$: $$ f^{(200)}(x) = e^x $$ **Ответ:** а) $\sin x$; б) $\cos x$; в) $e^x$.