ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 67

Дана многочленная функция: $$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 $$ где $n \geq 2$. ### 1. Нахождение производных 1, 2 и 3 порядков в общем виде Используем правила дифференцирования суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной, формулу $(x^k)' = k x^{k-1}$ и $(C)' = 0$. 1. Первая производная (производная 1-го порядка): $$ f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + 2 a_2 x + a_1 $$ 2. Вторая производная (производная 2-го порядка): $$ f''(x) = (f'(x))' = n(n-1) a_n x^{n-2} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3} + \ldots + 6 a_3 x + 2 a_2 $$ 3. Третья производная (производная 3-го порядка): $$ f'''(x) = (f''(x))' = n(n-1)(n-2) a_n x^{n-3} + (n-1)(n-2)(n-3) a_{n-1} x^{n-4} + \ldots + 24 a_4 x + 6 a_3 $$ *(Если $n = 2$, то слагаемое со степенью $x^{n-3}$ отсутствует, и третья производная тождественно равна $0$).* --- ### 2. Запись результатов для частных случаев **При $n = 2$:** Функция имеет вид: $$ f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ Находим её производные: - $f'(x) = 2 a_2 x + a_1$ - $f''(x) = 2 a_2$ - $f'''(x) = 0$ --- **При $n = 3$:** Функция имеет вид: $$ f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ Находим её производные: - $f'(x) = 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$ - $f''(x) = 6 a_3 x + 2 a_2$ - $f'''(x) = 6 a_3$ --- **При $n = 4$:** Функция имеет вид: $$ f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ Находим её производные: - $f'(x) = 4 a_4 x^3 + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$ - $f''(x) = 12 a_4 x^2 + 6 a_3 x + 2 a_2$ - $f'''(x) = 24 a_4 x + 6 a_3$