ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 70

а) $f(x) = (x + 2)^n$ Вычислим первые несколько производных функции, чтобы выявить закономерность: $$ f'(x) = n(x + 2)^{n-1} $$ $$ f''(x) = n(n - 1)(x + 2)^{n-2} $$ $$ f'''(x) = n(n - 1)(n - 2)(x + 2)^{n-3} $$ Продолжая дифференцирование $n$ раз, получаем гипотезу: $$ f^{(n)}(x) = n(n - 1)(n - 2) \cdot \ldots \cdot 1 = n! $$ Докажем формулу $((x + 2)^n)^{(n)} = n!$ с помощью метода математической индукции по $n \in \mathbb{N}$. 1. **База индукции.** При $n = 1$: $$ ((x + 2)^1)' = (x + 2)' = 1 = 1! $$ База индукции верна. 2. **Индукционный переход.** Предположим, что утверждение верно для $n = k$, то есть: $$ ((x + 2)^k)^{(k)} = k! $$ Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть $((x + 2)^{k+1})^{(k+1)} = (k + 1)!$. Найдем первую производную функции $g(x) = (x + 2)^{k+1}$: $$ g'(x) = ((x + 2)^{k+1})' = (k + 1)(x + 2)^k $$ Тогда производная порядка $k + 1$ равна производной порядка $k$ от первой производной: $$ ((x + 2)^{k+1})^{(k+1)} = (g'(x))^{(k)} = ((k + 1)(x + 2)^k)^{(k)} $$ Вынесем постоянный множитель за знак производной и применим предположение индукции: $$ (k + 1) \cdot ((x + 2)^k)^{(k)} = (k + 1) \cdot k! = (k + 1)! $$ Переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции для любого $n \in \mathbb{N}$ формула верна. **Ответ:** $f^{(n)}(x) = n!$ --- б) $f(x) = e^x$ Вычислим последовательные производные: $$ f'(x) = e^x $$ $$ f''(x) = (e^x)' = e^x $$ Выдвигаем гипотезу: $$ f^{(n)}(x) = e^x $$ Докажем формулу $(e^x)^{(n)} = e^x$ методом математической индукции по $n \in \mathbb{N}$. 1. **База индукции.** При $n = 1$: $$ (e^x)' = e^x $$ База индукции верна. 2. **Индукционный переход.** Предположим, что равенство верно для $n = k$: $$ (e^x)^{(k)} = e^x $$ Докажем, что оно верно для $n = k + 1$, то есть $(e^x)^{(k+1)} = e^x$. По определению производной порядка $k + 1$: $$ (e^x)^{(k+1)} = \left((e^x)^{(k)}\right)' $$ Используя предположение индукции, получаем: $$ \left((e^x)^{(k)}\right)' = (e^x)' = e^x $$ Переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции формула верна для любого $n \in \mathbb{N}$. **Ответ:** $f^{(n)}(x) = e^x$ --- в) $f(x) = 3^x$ Вычислим последовательные производные: $$ f'(x) = 3^x \ln 3 $$ $$ f''(x) = (3^x \ln 3)' = (3^x)' \ln 3 = 3^x (\ln 3)^2 $$ $$ f'''(x) = (3^x (\ln 3)^2)' = 3^x (\ln 3)^3 $$ Выдвигаем гипотезу: $$ f^{(n)}(x) = 3^x (\ln 3)^n $$ Докажем формулу $(3^x)^{(n)} = 3^x (\ln 3)^n$ методом математической индукции по $n \in \mathbb{N}$. 1. **База индукции.** При $n = 1$: $$ (3^x)' = 3^x \ln 3 = 3^x (\ln 3)^1 $$ База индукции верна. 2. **Индукционный переход.** Предположим, что утверждение верно для $n = k$: $$ (3^x)^{(k)} = 3^x (\ln 3)^k $$ Докажем справедливость формулы для $n = k + 1$, то есть $(3^x)^{(k+1)} = 3^x (\ln 3)^{k+1}$. По определению производной высшего порядка: $$ (3^x)^{(k+1)} = \left((3^x)^{(k)}\right)' $$ Применяем предположение индукции: $$ \left(3^x (\ln 3)^k\right)' = (\ln 3)^k \cdot (3^x)' = (\ln 3)^k \cdot 3^x \ln 3 = 3^x (\ln 3)^{k+1} $$ Переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции формула верна для любого $n \in \mathbb{N}$. **Ответ:** $f^{(n)}(x) = 3^x (\ln 3)^n$ --- г) $f(x) = (x - 2)^n$ Вычислим первые производные: $$ f'(x) = n(x - 2)^{n-1} $$ $$ f''(x) = n(n - 1)(x - 2)^{n-2} $$ $$ f'''(x) = n(n - 1)(n - 2)(x - 2)^{n-3} $$ Продолжая дифференцирование $n$ раз, получаем гипотезу: $$ f^{(n)}(x) = n(n - 1)(n - 2) \cdot \ldots \cdot 1 = n! $$ Докажем формулу $((x - 2)^n)^{(n)} = n!$ с помощью метода математической индукции по $n \in \mathbb{N}$. 1. **База индукции.** При $n = 1$: $$ ((x - 2)^1)' = (x - 2)' = 1 = 1! $$ База индукции верна. 2. **Индукционный переход.** Предположим, что утверждение справедливо для $n = k$: $$ ((x - 2)^k)^{(k)} = k! $$ Докажем, что оно справедливо для $n = k + 1$, то есть $((x - 2)^{k+1})^{(k+1)} = (k + 1)!$. Найдем первую производную: $$ ((x - 2)^{k+1})' = (k + 1)(x - 2)^k $$ Тогда: $$ ((x - 2)^{k+1})^{(k+1)} = \left(((x - 2)^{k+1})'\right)^{(k)} = ((k + 1)(x - 2)^k)^{(k)} $$ Выносим константу $(k + 1)$ и применяем предположение индукции: $$ (k + 1) \cdot ((x - 2)^k)^{(k)} = (k + 1) \cdot k! = (k + 1)! $$ Переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции для любого $n \in \mathbb{N}$ формула доказана. **Ответ:** $f^{(n)}(x) = n!$