ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 47

**а)** $f(x) = x^3$, $a = -1$, $b = 2$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3)' = 3x^2 $$ 2. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-1) = (-1)^3 = -1$, $f(b) = f(2) = 2^3 = 8$. 3. Найдем значение дроби: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 4. Составим и решим уравнение $f'(c) = 3$: $$ 3c^2 = 3 \implies c^2 = 1 \implies c = \pm 1 $$ Так как точка $c$ должна лежать строго внутри отрезка $[-1; 2]$, то есть $c \in (-1; 2)$, значение $c = -1$ не подходит, так как является границей отрезка. Значит, $c = 1$. **Ответ:** $c = 1$. --- **б)** $f(x) = x^3$, $a = -2$, $b = 1$. 1. Производная функции: $$ f'(x) = 3x^2 $$ 2. Значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-2) = (-2)^3 = -8$, $f(b) = f(1) = 1^3 = 1$. 3. Значение дроби: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{1 - (-8)}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 4. Решим уравнение $f'(c) = 3$: $$ 3c^2 = 3 \implies c^2 = 1 \implies c = \pm 1 $$ Точка $c$ должна лежать внутри отрезка $[-2; 1]$, то есть $c \in (-2; 1)$. Значение $c = 1$ является концом отрезка, поэтому решением является $c = -1$. **Ответ:** $c = -1$. --- **в)** $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = 0$, $b = 27$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ 2. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$, $f(b) = f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$. 3. Вычислим дробь: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 0}{27 - 0} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $$ \frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9} $$ $$ 3\sqrt[3]{c^2} = 9 \implies \sqrt[3]{c^2} = 3 \implies c^2 = 27 \implies c = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} $$ Точка должна лежать внутри отрезка $[0; 27]$, то есть $c \in (0; 27)$. Так как $3\sqrt{3} \approx 5{,}2$, то $3\sqrt{3} \in (0; 27)$, а отрицательное значение $-3\sqrt{3}$ не принадлежит интервалу. **Ответ:** $c = 3\sqrt{3}$. --- **г)** $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = -27$, $b = 0$. 1. Производная функции: $$ f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ 2. Значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$, $f(b) = f(0) = 0$. 3. Значение дроби: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0 - (-3)}{0 - (-27)} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $$ \frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9} $$ $$ \sqrt[3]{c^2} = 3 \implies c^2 = 27 \implies c = \pm 3\sqrt{3} $$ Искомая точка должна лежать внутри отрезка $[-27; 0]$, то есть $c \in (-27; 0)$. Следовательно, подходит $c = -3\sqrt{3}$. **Ответ:** $c = -3\sqrt{3}$.