ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 50

**а)** $f(x) = 3x + 4$, $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (3x + 4)' = 3 $$ Так как $f'(x) = 3 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то по признаку возрастания функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$. --- **б)** $f(x) = kx + l$, $k > 0$, $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (kx + l)' = k $$ По условию $k > 0$, значит, $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$. --- **в)** $f(x) = x^2$, $x \in [0; +\infty)$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^2)' = 2x $$ Для всех $x \in (0; +\infty)$ производная $f'(x) = 2x > 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 0$ и её производная положительна на интервале $(0; +\infty)$, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. --- **г)** $f(x) = -x^2$, $x \in (-\infty; 0]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (-x^2)' = -2x $$ Для всех $x \in (-\infty; 0)$ имеем $x < 0$, следовательно, $f'(x) = -2x > 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 0$ и её производная положительна на интервале $(-\infty; 0)$, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$. --- **д)** $f(x) = \sin x$, $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ косинус положителен: $\cos x > 0$, то есть $f'(x) > 0$. Так как функция $f(x)$ непрерывна на концах отрезка (при $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$), функция $f(x)$ возрастает на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. --- **е)** $f(x) = \cos x$, $x \in [\pi; 2\pi]$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ На интервале $(\pi; 2\pi)$ угол лежит в III и IV координатных четвертях, где $\sin x < 0$. Следовательно: $$ f'(x) = -\sin x > 0 $$ Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[\pi; 2\pi]$ и её производная положительна на интервале $(\pi; 2\pi)$, функция $f(x)$ возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$. --- **ж)** $f(x) = 2^x$, $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную показательной функции: $$ f'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2 $$ Показательное выражение $2^x > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, а так как $2 > 1$, то $\ln 2 > 0$. Отсюда: $$ f'(x) = 2^x \ln 2 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} $$ Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$. --- **з)** $f(x) = \log_2 x$, $x \in (0; +\infty)$. Найдем производную логарифмической функции: $$ f'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2} $$ Для любого $x \in (0; +\infty)$ имеем $x > 0$ и $\ln 2 > 0$, поэтому знаменатель положителен и: $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} > 0 $$ Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.