ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 63

Найдем производные заданных функций, используя формулу производной степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$. а) Перепишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Ответ: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. б) Представим корень в виде степени с дробным показателем: $$ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ Ответ: $f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. в) Представим функцию в виде степени: $$ f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{2}{3}}\right)' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} $$ Ответ: $f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. г) Запишем дробь в виде степени с отрицательным показателем: $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} $$ Ответ: $f'(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$. д) Запишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{-\frac{1}{3}}\right)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}} $$ Ответ: $f'(x) = -\dfrac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$. е) Запишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{-\frac{2}{3}}\right)' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}} $$ Ответ: $f'(x) = -\dfrac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$. ж) Упростим выражение с помощью свойств степеней: $$ f(x) = x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{2 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{5}{2}}\right)' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x} $$ Ответ: $f'(x) = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$. з) Преобразуем дробь к степени переменной $x$: $$ f(x) = \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^3}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{3 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{8}{3}} $$ Вычислим производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{8}{3}}\right)' = \frac{8}{3}x^{\frac{8}{3}-1} = \frac{8}{3}x^{\frac{5}{3}} = \frac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2} $$ Ответ: $f'(x) = \dfrac{8}{3}x\sqrt[3]{x^2}$.