ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 66

Пусть $g(x) = \sqrt{f(x)}$. По условию задачи на интервале $X$ функция $f(x)$ строго положительна ($f(x) > 0$) и дифференцируема. По правилу дифференцирования сложной функции найдем производную функции $g(x)$ для любого $x \in X$: $$ g'(x) = (\sqrt{f(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} $$ Так как $f(x) > 0$ для всех $x \in X$, то значение корня $\sqrt{f(x)} > 0$, откуда: $$ 2\sqrt{f(x)} > 0 $$ Поскольку знаменатель дроби положителен при всех $x \in X$, знак выражения $\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ совпадает со знаком числителя $f'(x)$: 1. $g'(x) > 0 \iff f'(x) > 0$; 2. $g'(x) < 0 \iff f'(x) < 0$; 3. $g'(x) = 0 \iff f'(x) = 0$. Следовательно, в каждой точке интервала $X$ производные $f'(x)$ и $(\sqrt{f(x)})'$ принимают значения одинакового знака. Значит, на интервале $X$ промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$ совпадают, что и требовалось доказать.