ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 16

**Формулировка теоремы 3** Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$ и $g(x_0) \neq 0$, то их частное — функция $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ — непрерывно в точке $x_0$. --- **Доказательство** 1. По определению, функция $h(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если: - она определена в некоторой окрестности точки $x_0$; - существует предел функции в этой точке, равный значению функции в ней: $$\lim_{x \to x_0} h(x) = h(x_0)$$ 2. Так как функция $g(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и $g(x_0) \neq 0$, то по свойству непрерывных функций существует такая окрестность точки $x_0$, в которой $g(x) \neq 0$. Значит, частное $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определено в этой окрестности точки $x_0$. 3. Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, по определению непрерывности имеем: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ $$\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)$$ 4. По теореме о пределе частного двух функций, если существуют конечные пределы $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$, причем $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) \neq 0$, то существует предел их частного, равный частному пределов: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0} g(x)}$$ 5. Подставляя значения пределов числителя и знаменателя, получаем: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)}$$ Равенство предела функции ее значению в точке $x_0$ доказывает, что функция $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $x_0$. Теорема доказана.