ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 265

Пусть: $s_1$ — расстояние от порта $M$ до озера по первой реке; $s_{\text{оз}}$ — расстояние, проходимое теплоходом по озеру; $s_2$ — расстояние от озера до порта $N$ по второй реке. По условию общая длина пути от $M$ до $N$ равна $s$: $$ s_1 + s_{\text{оз}} + s_2 = s $$ Отсюда выразим сумму расстояний по рекам: $$ s_1 + s_2 = s - s_{\text{оз}} $$ Рассмотрим движение теплохода: 1. **Движение от $M$ до $N$:** * по первой реке теплоход плывёт вниз по течению (в озеро), его скорость равна $v + v_1$; * по озеру он идёт со своей собственной скоростью $v$; * по второй реке теплоход поднимается вверх от озера (против течения), его скорость равна $v - v_2$. Общее время в пути равно $t$: $$ \frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_{\text{оз}}}{v} + \frac{s_2}{v - v_2} = t \quad (1) $$ 2. **Обратное движение от $N$ до $M$:** * по второй реке теплоход спускается к озеру (по течению), его скорость равна $v + v_2$; * по озеру скорость по-прежнему равна $v$; * по первой реке он поднимается от озера к порту $M$ (против течения), его скорость равна $v - v_1$. Время обратного движения также равно $t$: $$ \frac{s_1}{v - v_1} + \frac{s_{\text{оз}}}{v} + \frac{s_2}{v + v_2} = t \quad (2) $$ Вычтем из уравнения $(1)$ уравнение $(2)$: $$ s_1 \left( \frac{1}{v + v_1} - \frac{1}{v - v_1} \right) + s_2 \left( \frac{1}{v - v_2} - \frac{1}{v + v_2} \right) = 0 $$ Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: $$ s_1 \cdot \frac{(v - v_1) - (v + v_1)}{v^2 - v_1^2} + s_2 \cdot \frac{(v + v_2) - (v - v_2)}{v^2 - v_2^2} = 0 $$ $$ -\frac{2v_1 s_1}{v^2 - v_1^2} + \frac{2v_2 s_2}{v^2 - v_2^2} = 0 $$ Разделим обе части на 2 и перенесём слагаемые: $$ \frac{v_1 s_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{v_2 s_2}{v^2 - v_2^2} $$ Обозначим это общее отношение через некоторую переменную $k$: $$ \frac{s_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{k}{v_1}, \qquad \frac{s_2}{v^2 - v_2^2} = \frac{k}{v_2} $$ Тогда: $$ s_1 = k \cdot \frac{v^2 - v_1^2}{v_1}, \qquad s_2 = k \cdot \frac{v^2 - v_2^2}{v_2} $$ Теперь сложим уравнения $(1)$ и $(2)$: $$ s_1 \left( \frac{1}{v + v_1} + \frac{1}{v - v_1} \right) + s_2 \left( \frac{1}{v - v_2} + \frac{1}{v + v_2} \right) + \frac{2s_{\text{оз}}}{v} = 2t $$ $$ s_1 \cdot \frac{2v}{v^2 - v_1^2} + s_2 \cdot \frac{2v}{v^2 - v_2^2} + \frac{2s_{\text{оз}}}{v} = 2t $$ Разделим обе части равенства на 2: $$ \frac{v s_1}{v^2 - v_1^2} + \frac{v s_2}{v^2 - v_2^2} + \frac{s_{\text{оз}}}{v} = t $$ Подставим выражения $\frac{s_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{k}{v_1}$ и $\frac{s_2}{v^2 - v_2^2} = \frac{k}{v_2}$: $$ v \left( \frac{k}{v_1} + \frac{k}{v_2} \right) + \frac{s_{\text{оз}}}{v} = t $$ $$ v k \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} = t - \frac{s_{\text{оз}}}{v} = \frac{v t - s_{\text{оз}}}{v} $$ Отсюда выразим $k$: $$ k = \frac{v t - s_{\text{оз}}}{v^2} \cdot \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} $$ С другой стороны, сумма $s_1 + s_2$ равна: $$ s_1 + s_2 = k \left( \frac{v^2 - v_1^2}{v_1} + \frac{v^2 - v_2^2}{v_2} \right) $$ Преобразуем выражение в скобках: $$ \frac{v^2 - v_1^2}{v_1} + \frac{v^2 - v_2^2}{v_2} = v^2 \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) - (v_1 + v_2) = v^2 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} - (v_1 + v_2) = (v_1 + v_2) \cdot \frac{v^2 - v_1 v_2}{v_1 v_2} $$ Подставим найденный коэффициент $k$: $$ s_1 + s_2 = \left( \frac{v t - s_{\text{оз}}}{v^2} \cdot \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} \right) \cdot \left( (v_1 + v_2) \cdot \frac{v^2 - v_1 v_2}{v_1 v_2} \right) = \frac{(v t - s_{\text{оз}})(v^2 - v_1 v_2)}{v^2} $$ Так как $s_1 + s_2 = s - s_{\text{оз}}$, получаем уравнение относительно $s_{\text{оз}}$: $$ \frac{(v t - s_{\text{оз}})(v^2 - v_1 v_2)}{v^2} = s - s_{\text{оз}} $$ Умножим обе части уравнения на $v^2$: $$ (v t - s_{\text{оз}})(v^2 - v_1 v_2) = v^2 (s - s_{\text{оз}}) $$ $$ v t (v^2 - v_1 v_2) - s_{\text{оз}}(v^2 - v_1 v_2) = v^2 s - v^2 s_{\text{оз}} $$ Сгруппируем слагаемые с $s_{\text{оз}}$ в левой части: $$ v^2 s_{\text{оз}} - s_{\text{оз}}(v^2 - v_1 v_2) = v^2 s - v t (v^2 - v_1 v_2) $$ $$ s_{\text{оз}} \bigl( v^2 - (v^2 - v_1 v_2) \bigr) = v^2 s - v t (v^2 - v_1 v_2) $$ $$ s_{\text{оз}} \cdot v_1 v_2 = v^2 s - v t (v^2 - v_1 v_2) $$ $$ s_{\text{оз}} = \frac{v^2 s - v t (v^2 - v_1 v_2)}{v_1 v_2} $$ Ответ: $\dfrac{v^2 s - v t (v^2 - v_1 v_2)}{v_1 v_2}$.