ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 264

а) Обозначим: - $v$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде); - $u$ км/ч — скорость течения первой реки; - $1{,}5u$ км/ч — скорость течения второй реки. Так как обе реки впадают в озеро, то устья рек находятся на озере. - При движении из пункта $A$ в пункт $C$: - по первой реке от $A$ до её устья лодка плывёт по течению реки 35 км со скоростью $(v + u)$ км/ч; - по озеру между устьями лодка плывёт 15 км в стоячей воде со скоростью $v$ км/ч; - по второй реке от устья вверх до пункта $C$ лодка плывёт против течения реки 60 км со скоростью $(v - 1{,}5u)$ км/ч. Время движения от $A$ до $C$ составляет $10\text{ ч } 25\text{ мин} = 10\frac{25}{60}\text{ ч} = \frac{125}{12}\text{ ч}$. - При обратном движении из $C$ в $A$: - по второй реке от $C$ до устья лодка плывёт по течению реки 60 км со скоростью $(v + 1{,}5u)$ км/ч; - по озеру — 15 км со скоростью $v$ км/ч; - по первой реке от устья до $A$ лодка плывёт против течения реки 35 км со скоростью $(v - u)$ км/ч. Время движения от $C$ до $A$ составляет $8\text{ ч } 45\text{ мин} = 8\frac{45}{60}\text{ ч} = \frac{35}{4}\text{ ч} = \frac{105}{12}\text{ ч}$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{35}{v + u} + \dfrac{15}{v} + \dfrac{60}{v - 1{,}5u} = \dfrac{125}{12}, \\[2ex] \dfrac{35}{v - u} + \dfrac{15}{v} + \dfrac{60}{v + 1{,}5u} = \dfrac{105}{12}. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ \left(\frac{60}{v - 1{,}5u} - \frac{60}{v + 1{,}5u}\right) - \left(\frac{35}{v - u} - \frac{35}{v + u}\right) = \frac{125}{12} - \frac{105}{12} $$ $$ \frac{60 \cdot 3u}{v^2 - 2{,}25u^2} - \frac{35 \cdot 2u}{v^2 - u^2} = \frac{20}{12} $$ $$ \frac{180u}{v^2 - 2{,}25u^2} - \frac{70u}{v^2 - u^2} = \frac{5}{3} $$ Разделим обе части на 5: $$ \frac{36u}{v^2 - 2{,}25u^2} - \frac{14u}{v^2 - u^2} = \frac{1}{3} $$ Сложим первое и второе уравнения исходной системы: $$ \left(\frac{35}{v + u} + \frac{35}{v - u}\right) + \left(\frac{60}{v - 1{,}5u} + \frac{60}{v + 1{,}5u}\right) + \frac{30}{v} = \frac{125}{12} + \frac{105}{12} $$ $$ \frac{70v}{v^2 - u^2} + \frac{120v}{v^2 - 2{,}25u^2} + \frac{30}{v} = \frac{115}{6} $$ Пусть $v = k \cdot u$, где $k > 1{,}5$. Подставим $v = ku$ в полученные равенства: $$ \frac{1}{u}\left(\frac{36}{k^2 - 2{,}25} - \frac{14}{k^2 - 1}\right) = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{u}\left(\frac{70k}{k^2 - 1} + \frac{120k}{k^2 - 2{,}25} + \frac{30}{k}\right) = \frac{115}{6} $$ Разделим второе равенство на первое: $$ \frac{\dfrac{70k}{k^2 - 1} + \dfrac{120k}{k^2 - 2{,}25} + \dfrac{30}{k}}{\dfrac{36}{k^2 - 2{,}25} - \dfrac{14}{k^2 - 1}} = \frac{115}{6} : \frac{1}{3} = \frac{115}{2} = 57{,}5 $$ Проверим значение $k = 6$: - Знаменатель: $\dfrac{36}{36 - 2{,}25} - \dfrac{14}{36 - 1} = \dfrac{36}{33{,}75} - \dfrac{14}{35} = \dfrac{16}{15} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$. - Числитель: $\dfrac{70 \cdot 6}{35} + \dfrac{120 \cdot 6}{33{,}75} + \dfrac{30}{6} = 12 + \dfrac{720}{33{,}75} + 5 = 17 + \dfrac{64}{3} = \dfrac{115}{3}$. - Отношение: $\dfrac{115}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{115}{2} = 57{,}5$. Значит, $k = 6$. Найдём скорость течения $u$: $$ \frac{1}{u} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \implies u = 2\text{ км/ч}. $$ Тогда скорость лодки в стоячей воде: $$ v = 6u = 6 \cdot 2 = 12\text{ км/ч}. $$ Ответ: 12 км/ч. --- б) Обозначим: - $v$ — скорость второго корабля, тогда скорость первого корабля равна $2v$; - $u$ — скорость катера ($u > 2v$); - $d_1$ — расстояние между кораблями в момент начала первого рейса катера. 1. Катер догоняет первый корабль. Скорость сближения катера с первым кораблём равна $(u - 2v)$. Время, за которое катер догонит первый корабль: $$ t_1 = \frac{d_1}{u - 2v}. $$ За это время расстояние между кораблями увеличилось на величину $(2v - v)t_1 = v t_1$ и стало равным: $$ d_1' = d_1 + v t_1 = d_1 + \frac{v d_1}{u - 2v} = d_1 \cdot \frac{u - v}{u - 2v}. $$ 2. Катер возвращается ко второму кораблю. Катер и второй корабль движутся навстречу друг другу с относительной скоростью $(u + v)$. Время возвращения: $$ t_2 = \frac{d_1'}{u + v} = \frac{d_1(u - v)}{(u - 2v)(u + v)}. $$ 3. Полное время первого рейса $T_1$: $$ T_1 = t_1 + t_2 = \frac{d_1}{u - 2v} + \frac{d_1(u - v)}{(u - 2v)(u + v)} = \frac{d_1}{u - 2v} \left(1 + \frac{u - v}{u + v}\right) = \frac{d_1}{u - 2v} \cdot \frac{2u}{u + v}. $$ Заметим, что: $$ T_1 = t_1 \cdot \frac{2u}{u + v}. $$ Кроме того, полное время рейса катера прямо пропорционально расстоянию между кораблями в начале рейса: $$ T = d \cdot \frac{2u}{(u - 2v)(u + v)}. $$ 4. За время первого рейса ($T_1 = 5$ ч) первый корабль удалился от второго ещё на расстояние: $$ \Delta d = (2v - v) \cdot T_1 = 5v. $$ Значит, к началу второго рейса расстояние между кораблями составляло $d_2 = d_1 + 5v$. Время второго рейса $T_2 = 9$ ч. Разность во времени между вторым и первым рейсами: $$ T_2 - T_1 = (d_2 - d_1) \cdot \frac{2u}{(u - 2v)(u + v)} $$ $$ 9 - 5 = 5v \cdot \frac{2u}{(u - 2v)(u + v)} $$ $$ 4 = \frac{10uv}{(u - 2v)(u + v)}. $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $v^2$ и положим $\dfrac{u}{v} = m$ (где $m > 2$): $$ 4 = \frac{10m}{(m - 2)(m + 1)} $$ $$ 4(m^2 - m - 2) = 10m $$ $$ 4m^2 - 14m - 8 = 0 $$ $$ 2m^2 - 7m - 4 = 0. $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2, $$ $$ m_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4, \quad m_2 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}\text{ (не подходит, так как } m > 2\text{)}. $$ Таким образом, $u = 4v$. 5. Найдём время $t_1$, в течение которого катер догонял первый корабль в свой первый рейс: $$ t_1 = T_1 \cdot \frac{u + v}{2u} = 5 \cdot \frac{4v + v}{2 \cdot 4v} = 5 \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{8}\text{ ч} = 3\frac{1}{8}\text{ ч} = 3\text{ ч } 7\text{ мин } 30\text{ с}. $$ Ответ: $3\frac{1}{8}$ ч (или 3 ч 7 мин 30 с).