ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 263

**263.** **а)** Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода. Так как скорость пешехода составляет $\frac{2}{5}$ скорости велосипедиста, то скорость велосипедиста равна: $$v_{\text{в}} = x : \frac{2}{5} = \frac{5}{2}x = 2,5x\text{ (км/ч)}.$$ За 2 ч до выезда мотоциклиста: - пешеход прошел расстояние $2x$ км; - велосипедист проехал расстояние $2 \cdot 2,5x = 5x$ км. Скорость мотоциклиста равна $30$ км/ч. Чтобы мотоциклист мог догнать пешехода и велосипедиста, его скорость должна быть больше их скоростей, то есть $30 > 2,5x$, откуда $x < 12$. Скорость сближения мотоциклиста с пешеходом равна $(30 - x)$ км/ч, а с велосипедистом — $(30 - 2,5x)$ км/ч. Время, за которое мотоциклист догнал пешехода: $$t_1 = \frac{2x}{30 - x}\text{ (ч)}.$$ Время, за которое мотоциклист догнал велосипедиста: $$t_2 = \frac{5x}{30 - 2,5x} = \frac{10x}{60 - 5x} = \frac{2x}{12 - x}\text{ (ч)}.$$ По условию мотоциклист догнал пешехода на $1,5$ ч раньше, чем велосипедиста. Составим уравнение: $$t_2 - t_1 = 1,5$$ $$\frac{2x}{12 - x} - \frac{2x}{30 - x} = \frac{3}{2}$$ $$2x \left(\frac{1}{12 - x} - \frac{1}{30 - x}\right) = \frac{3}{2}$$ $$2x \cdot \frac{30 - x - (12 - x)}{(12 - x)(30 - x)} = \frac{3}{2}$$ $$2x \cdot \frac{18}{(12 - x)(30 - x)} = \frac{3}{2}$$ $$\frac{36x}{(12 - x)(30 - x)} = \frac{3}{2}$$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$\frac{12x}{(12 - x)(30 - x)} = \frac{1}{2}$$ $$(12 - x)(30 - x) = 24x$$ $$360 - 42x + x^2 = 24x$$ $$x^2 - 66x + 360 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D_1 = (-33)^2 - 1 \cdot 360 = 1089 - 360 = 729 = 27^2$$ $$x = 33 \pm 27$$ $$x_1 = 33 - 27 = 6$$ $$x_2 = 33 + 27 = 60$$ Корень $x = 60$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость мотоциклиста ($30$ км/ч) должна превышать скорость пешехода и скорость велосипедиста. Значит, скорость пешехода равна $6$ км/ч. **Ответ к пункту а:** $6$ км/ч. --- **б)** Пусть $v$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Так как она составляет $\frac{6}{5}$ скорости грузовика, то скорость грузовика равна: $$v_{\text{гр}} = v : \frac{6}{5} = \frac{5}{6}v\text{ (км/ч)}.$$ Через $30$ мин ($0,5$ ч) вслед за ними выехал мотоциклист со скоростью $90$ км/ч. Мотоциклист сможет догнать легковой автомобиль только при условии, что его скорость больше скорости автомобиля, то есть $v < 90$. За $0,5$ ч до выезда мотоциклиста: - грузовик проехал расстояние $0,5 \cdot \frac{5}{6}v = \frac{5}{12}v$ км; - легковой автомобиль проехал расстояние $0,5v$ км. Скорость сближения мотоциклиста с грузовиком равна $\left(90 - \frac{5}{6}v\right)$ км/ч, а с легковым автомобилем — $(90 - v)$ км/ч. Время, за которое мотоциклист догнал грузовик: $$t_1 = \frac{\frac{5}{12}v}{90 - \frac{5}{6}v} = \frac{5v}{12 \cdot \frac{540 - 5v}{6}} = \frac{5v}{2(540 - 5v)} = \frac{v}{2(108 - v)} = \frac{0,5v}{108 - v}\text{ (ч)}.$$ Время, за которое мотоциклист догнал легковой автомобиль: $$t_2 = \frac{0,5v}{90 - v}\text{ (ч)}.$$ По условию мотоциклист догнал грузовик на $1$ ч раньше, чем легковой автомобиль. Составим уравнение: $$t_2 - t_1 = 1$$ $$\frac{0,5v}{90 - v} - \frac{0,5v}{108 - v} = 1$$ $$0,5v \left(\frac{1}{90 - v} - \frac{1}{108 - v}\right) = 1$$ $$0,5v \cdot \frac{108 - v - (90 - v)}{(90 - v)(108 - v)} = 1$$ $$0,5v \cdot \frac{18}{(90 - v)(108 - v)} = 1$$ $$\frac{9v}{(90 - v)(108 - v)} = 1$$ $$(90 - v)(108 - v) = 9v$$ $$9720 - 198v + v^2 = 9v$$ $$v^2 - 207v + 9720 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-207)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9720 = 42849 - 38880 = 3969 = 63^2$$ $$v = \frac{207 \pm 63}{2}$$ $$v_1 = \frac{207 - 63}{2} = \frac{144}{2} = 72$$ $$v_2 = \frac{207 + 63}{2} = \frac{270}{2} = 135$$ Корень $v = 135$ не удовлетворяет условию $v < 90$ (мотоциклист не смог бы догнать автомобиль). Следовательно, скорость легкового автомобиля равна $72$ км/ч. **Ответ к пункту б:** $72$ км/ч.