ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 232

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin y |\sin y| = \dfrac{|\cos x|}{\cos x} \\ |\cos x - 1|^2 + |\sin y|^2 = 4 \end{cases} $$ 1. Рассмотрим первое уравнение системы: Дробь $\dfrac{|\cos x|}{\cos x}$ определена при $\cos x \neq 0$ и принимает значения: $$ \frac{|\cos x|}{\cos x} = \begin{cases} 1, & \text{если } \cos x > 0, \\ -1, & \text{если } \cos x < 0. \end{cases} $$ Так как для любого $y$ выполняется $|\sin y| \le 1$, то произведение $\sin y |\sin y|$ также ограничено: $$ -1 \le \sin y |\sin y| \le 1 $$ При этом: — равенство $\sin y |\sin y| = 1$ возможно только при $\sin y = 1$; — равенство $\sin y |\sin y| = -1$ возможно только при $\sin y = -1$. В обоих случаях $|\sin y| = 1$, откуда: $$ |\sin y|^2 = \sin^2 y = 1 $$ 2. Подставим значение $|\sin y|^2 = 1$ во второе уравнение системы. Учитывая, что $|a|^2 = a^2$: $$ (\cos x - 1)^2 + 1 = 4 $$ $$ (\cos x - 1)^2 = 3 $$ Отсюда получаем два случая: 1) $\cos x - 1 = \sqrt{3} \implies \cos x = 1 + \sqrt{3}$. Так как $1 + \sqrt{3} > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений. 2) $\cos x - 1 = -\sqrt{3} \implies \cos x = 1 - \sqrt{3}$. Так как $-1 < 1 - \sqrt{3} < 0$, данное значение принадлежит области значений косинуса $[-1; 1]$. 3. Так как $\cos x = 1 - \sqrt{3} < 0$, найдем значение правой части первого уравнения: $$ \frac{|\cos x|}{\cos x} = -1 $$ Тогда первое уравнение принимает вид: $$ \sin y |\sin y| = -1 \implies \sin y = -1 $$ 4. Решим полученные простейшие тригонометрические уравнения: 1) $\cos x = 1 - \sqrt{3}$: $$ x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin y = -1$: $$ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{3}) + 2\pi k, \quad y = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.