ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 211

a) Решим неравенство: $$ \frac{1}{\left( \sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x} \right)^2} \geq 0 $$ Дробь имеет положительный числитель ($1 > 0$), а её знаменатель представляет собой квадрат выражения, то есть всегда неотрицателен. Дробь не может быть равной нулю, поэтому данное неравенство выполняется при всех $x$, при которых выражение в левой части определено, а знаменатель отличен от нуля. 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Под знаком корня должно стоять неотрицательное число, а знаменатели дробей не должны обращаться в ноль: $$ \begin{cases} \frac{2-x}{x} \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \iff \frac{x-2}{x} \le 0 \iff x \in (0; 2] $$ 2. **Знаменатель не равен нулю:** Выражение в знаменателе обращается в ноль, если: $$ \sqrt{\frac{2-x}{x}} - \frac{x+1}{2x} = 0 \iff \sqrt{\frac{2-x}{x}} = \frac{x+1}{2x} $$ Так как $x \in (0; 2]$, то $2x > 0$ и $x + 1 > 0$. Обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $2x$: $$ 2\sqrt{x(2-x)} = x+1 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 4x(2-x) = (x+1)^2 $$ $$ 8x - 4x^2 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ 5x^2 - 6x + 1 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{6 - 4}{10} = 0{,}2, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{10} = 1 $$ Оба корня принадлежат промежутку $(0; 2]$ и обращают знаменатель исходной дроби в ноль. 3. **Объединение условий:** Исключим найденные точки из ОДЗ: $$ x \in (0; 0{,}2) \cup (0{,}2; 1) \cup (1; 2] $$ Ответ: $x \in (0; 0{,}2) \cup (0{,}2; 1) \cup (1; 2]$. --- b) Решим неравенство: $$ \frac{1}{\left( \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - \frac{x+2}{2x+2} \right)^2} \geq 0 $$ Аналогично первому пункту, числитель дроби положен, а знаменатель является квадратом выражения. Неравенство справедливо при всех $x$, для которых выражение имеет смысл и его знаменатель не равен нулю. 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} \frac{1-x}{x+1} \ge 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff \frac{x-1}{x+1} \le 0 \iff x \in (-1; 1] $$ 2. **Знаменатель не равен нулю:** Выражение в знаменателе равно нулю при: $$ \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - \frac{x+2}{2(x+1)} = 0 \iff \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} = \frac{x+2}{2(x+1)} $$ Для любого $x \in (-1; 1]$ знаменатель $2(x+1) > 0$ и числитель $x+2 > 0$, поэтому обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $2(x+1)$: $$ 2\sqrt{(1-x)(x+1)} = x+2 $$ Возведём обе части в квадрат: $$ 4(1-x^2) = (x+2)^2 $$ $$ 4 - 4x^2 = x^2 + 4x + 4 $$ $$ 5x^2 + 4x = 0 $$ $$ x(5x + 4) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -0{,}8 $$ Оба значения принадлежат промежутку $(-1; 1]$. В этих точках знаменатель дроби равен нулю, следовательно, их необходимо исключить. 3. **Объединение условий:** Исключим точки $-0{,}8$ и $0$ из ОДЗ: $$ x \in (-1; -0{,}8) \cup (-0{,}8; 0) \cup (0; 1] $$ Ответ: $x \in (-1; -0{,}8) \cup (-0{,}8; 0) \cup (0; 1]$.