ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 208

### a) $$ \frac{\lg(8 - x)}{\lg(x - 2)^2} \leq 1 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): - выражение под знаком логарифма в числителе строго положительно: $$ 8 - x > 0 \implies x < 8; $$ - выражение под знаком логарифма в знаменателе строго положительно: $$ (x - 2)^2 > 0 \implies x \neq 2; $$ - знаменатель дроби не равен нулю: $$ \lg(x - 2)^2 \neq 0 \implies (x - 2)^2 \neq 1 \implies x - 2 \neq \pm 1 \implies x \neq 1 \text{ и } x \neq 3. $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; 3) \cup (3; 8)$. 2. Преобразуем неравенство, перенеся единицу в левую часть: $$ \frac{\lg(8 - x) - \lg(x - 2)^2}{\lg(x - 2)^2} \leq 0 $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, воспользуемся методом рационализации (знакотождественных множителей): - знак разности $\lg(8 - x) - \lg(x - 2)^2$ совпадает со знаком разности $(8 - x) - (x - 2)^2$; - знак выражения $\lg(x - 2)^2 = \lg(x - 2)^2 - \lg 1$ совпадает со знаком $(x - 2)^2 - 1$. Неравенство равносильно: $$ \frac{(8 - x) - (x - 2)^2}{(x - 2)^2 - 1} \leq 0 $$ Преобразуем числитель и знаменатель: $$ (8 - x) - (x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 3x + 4 = -(x - 4)(x + 1) $$ $$ (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = (x - 3)(x - 1) $$ Получаем: $$ \frac{-(x - 4)(x + 1)}{(x - 3)(x - 1)} \leq 0 \iff \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 1)(x - 3)} \geq 0 $$ Применяем метод интервалов: - нули числителя: $x = -1$, $x = 4$; - нули знаменателя: $x = 1$, $x = 3$. Решением этого дробно-рационального неравенства является: $$ x \in (-\infty; -1] \cup (1; 3) \cup [4; +\infty) $$ 3. Пересечём полученное решение с ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -1] \cup (1; 2) \cup (2; 3) \cup [4; 8) $$ Ответ: $(-\infty; -1] \cup (1; 2) \cup (2; 3) \cup [4; 8)$. --- ### b) $$ \frac{\lg\left(\frac{x}{2} + 9\right)}{\lg\left(\frac{x}{2} + 3\right)^2} \leq 1 $$ Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид: $$ \frac{\lg(t + 9)}{\lg(t + 3)^2} \leq 1 $$ 1. ОДЗ для переменной $t$: $$ \begin{cases} t + 9 > 0 \\ (t + 3)^2 > 0 \\ \lg(t + 3)^2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t > -9 \\ t \neq -3 \\ (t + 3)^2 \neq 1 \implies t \neq -4, \, t \neq -2 \end{cases} $$ 2. Преобразуем неравенство: $$ \frac{\lg(t + 9) - \lg(t + 3)^2}{\lg(t + 3)^2} \leq 0 $$ Используя метод рационализации: $$ \frac{(t + 9) - (t + 3)^2}{(t + 3)^2 - 1} \leq 0 $$ $$ (t + 9) - (t^2 + 6t + 9) = -t^2 - 5t = -t(t + 5) $$ $$ (t + 3)^2 - 1 = (t + 2)(t + 4) $$ Следовательно: $$ \frac{-t(t + 5)}{(t + 2)(t + 4)} \leq 0 \iff \frac{t(t + 5)}{(t + 2)(t + 4)} \geq 0 $$ Методом интервалов получаем: $$ t \in (-\infty; -5] \cup (-4; -2) \cup [0; +\infty) $$ С учётом ОДЗ ($t > -9$ и $t \neq -3$): $$ t \in (-9; -5] \cup (-4; -3) \cup (-3; -2) \cup [0; +\infty) $$ 3. Возвращаемся к переменной $x = 2t$: $$ x \in (-18; -10] \cup (-8; -6) \cup (-6; -4) \cup [0; +\infty) $$ Ответ: $(-18; -10] \cup (-8; -6) \cup (-6; -4) \cup [0; +\infty)$. --- ### c) $$ \frac{\lg(2x + 9)}{\lg(2x + 3)^2} \leq 1 $$ Сделаем замену переменной $t = 2x$. Получаем неравенство: $$ \frac{\lg(t + 9)}{\lg(t + 3)^2} \leq 1 $$ Данное неравенство полностью совпадает с неравенством из пункта **b)**. Его решение для переменной $t$: $$ t \in (-9; -5] \cup (-4; -3) \cup (-3; -2) \cup [0; +\infty) $$ Возвращаемся к переменной $x = \frac{t}{2}$: $$ x \in \left(-\frac{9}{2}; -\frac{5}{2}\right] \cup \left(-2; -\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{3}{2}; -1\right) \cup [0; +\infty) $$ Ответ: $(-4{,}5; -2{,}5] \cup (-2; -1{,}5) \cup (-1{,}5; -1) \cup [0; +\infty)$. --- ### d) $$ \frac{\lg\left(\frac{x}{3} + 5\right)}{\lg\left(\frac{x}{3} - 1\right)^2} \leq 1 $$ Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид: $$ \frac{\lg(t + 5)}{\lg(t - 1)^2} \leq 1 $$ 1. ОДЗ для переменной $t$: $$ \begin{cases} t + 5 > 0 \\ (t - 1)^2 > 0 \\ \lg(t - 1)^2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t > -5 \\ t \neq 1 \\ (t - 1)^2 \neq 1 \implies t \neq 0, \, t \neq 2 \end{cases} $$ 2. Преобразуем неравенство: $$ \frac{\lg(t + 5) - \lg(t - 1)^2}{\lg(t - 1)^2} \leq 0 $$ Применяем метод рационализации: $$ \frac{(t + 5) - (t - 1)^2}{(t - 1)^2 - 1} \leq 0 $$ $$ (t + 5) - (t^2 - 2t + 1) = -t^2 + 3t + 4 = -(t - 4)(t + 1) $$ $$ (t - 1)^2 - 1 = (t - 1 - 1)(t - 1 + 1) = t(t - 2) $$ Получаем: $$ \frac{-(t - 4)(t + 1)}{t(t - 2)} \leq 0 \iff \frac{(t + 1)(t - 4)}{t(t - 2)} \geq 0 $$ Методом интервалов находим: $$ t \in (-\infty; -1] \cup (0; 2) \cup [4; +\infty) $$ С учётом ОДЗ ($t > -5$ и $t \neq 1$): $$ t \in (-5; -1] \cup (0; 1) \cup (1; 2) \cup [4; +\infty) $$ 3. Возвращаемся к переменной $x = 3t$: $$ x \in (-15; -3] \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup [12; +\infty) $$ Ответ: $(-15; -3] \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup [12; +\infty)$.