ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 210

а) Решим неравенство: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{1-x} \cdot 5^{\sqrt{-x}} > \frac{1}{25} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть: $$ -x \geqslant 0 \iff x \leqslant 0 $$ 2. Приведём степени к одинаковому основанию $5$: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{1-x} = \left(5^{-1}\right)^{1-x} = 5^{x-1}, \quad \frac{1}{25} = 5^{-2} $$ Неравенство принимает вид: $$ 5^{x-1} \cdot 5^{\sqrt{-x}} > 5^{-2} $$ $$ 5^{x - 1 + \sqrt{-x}} > 5^{-2} $$ Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $$ x - 1 + \sqrt{-x} > -2 $$ $$ \sqrt{-x} > -x - 1 $$ 3. Введём замену переменной: пусть $t = \sqrt{-x}$, причём $t \geqslant 0$. Тогда $-x = t^2$, и неравенство примет вид: $$ t > t^2 - 1 $$ $$ t^2 - t - 1 < 0 $$ Корни уравнения $t^2 - t - 1 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $$ $$ t_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad t_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$ Решением квадратного неравенства является интервал $\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$. С учётом условия $t \geqslant 0$ получаем: $$ 0 \leqslant t < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$ 4. Возвращаемся к переменной $x$: $$ 0 \leqslant \sqrt{-x} < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ 0 \leqslant -x < \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 $$ $$ 0 \leqslant -x < \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} $$ $$ 0 \leqslant -x < \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} $$ $$ 0 \leqslant -x < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$ Умножим все части двойного неравенства на $-1$ (знаки меняются на противоположные): $$ -\frac{3 + \sqrt{5}}{2} < x \leqslant 0 $$ Данный промежуток полностью входит в ОДЗ ($x \leqslant 0$). Ответ: $\left(-\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0\right]$. --- б) Решим неравенство: $$ \frac{2^{x} + 5x + 8}{x - 2} \leqslant 5 $$ 1. ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$. 2. Перенесём число $5$ в левую часть и приведём выражение к общему знаменателю: $$ \frac{2^{x} + 5x + 8}{x - 2} - 5 \leqslant 0 $$ $$ \frac{2^{x} + 5x + 8 - 5(x - 2)}{x - 2} \leqslant 0 $$ $$ \frac{2^{x} + 5x + 8 - 5x + 10}{x - 2} \leqslant 0 $$ $$ \frac{2^{x} + 18}{x - 2} \leqslant 0 $$ 3. Так как $2^x > 0$ при любых действительных значениях $x$, то числитель дроби строго положителен: $2^x + 18 > 18 > 0$. Значит, знак всей дроби совпадает со знаком её знаменателя: $$ x - 2 < 0 \iff x < 2 $$ Ответ: $(-\infty; 2)$. --- в) Решим неравенство: $$ \sqrt{2\log_{9}{(3x^{2} - 4)}} > \log_{3}{\sqrt{3x^{2} - 4}} $$ 1. Найдём ОДЗ: — подлогарифмическое выражение положительно: $3x^2 - 4 > 0$; — выражение под корнем неотрицательно: $2\log_{9}{(3x^2 - 4)} \geqslant 0 \iff \log_{9}{(3x^2 - 4)} \geqslant 0$. Так как $\log_9(3x^2 - 4) \geqslant 0 \iff 3x^2 - 4 \geqslant 9^0 = 1$, то условие $3x^2 - 4 \geqslant 1$ является более сильным и полностью включает в себя условие $3x^2 - 4 > 0$. 2. Преобразуем логарифмы к основанию $3$: $$ 2\log_{9}{(3x^2 - 4)} = 2 \cdot \log_{3^2}{(3x^2 - 4)} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}{(3x^2 - 4)} = \log_{3}{(3x^2 - 4)} $$ $$ \log_{3}{\sqrt{3x^2 - 4}} = \log_{3}{(3x^2 - 4)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\log_{3}{(3x^2 - 4)} $$ Неравенство принимает вид: $$ \sqrt{\log_{3}{(3x^2 - 4)}} > \frac{1}{2}\log_{3}{(3x^2 - 4)} $$ 3. Сделаем замену переменной: пусть $u = \log_{3}{(3x^2 - 4)}$. По ОДЗ $3x^2 - 4 \geqslant 1$, следовательно, $u \geqslant 0$. $$ \sqrt{u} > \frac{1}{2}u $$ Так как обе части неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ u > \frac{1}{4}u^2 $$ $$ u^2 - 4u < 0 $$ $$ u(u - 4) < 0 $$ Решением этого неравенства является интервал: $$ 0 < u < 4 $$ 4. Вернёмся к переменной $x$: $$ 0 < \log_{3}{(3x^2 - 4)} < 4 $$ Поскольку основание логарифма $3 > 1$: $$ 3^0 < 3x^2 - 4 < 3^4 $$ $$ 1 < 3x^2 - 4 < 81 $$ Прибавим $4$ ко всем частям: $$ 5 < 3x^2 < 85 $$ Разделим на $3$: $$ \frac{5}{3} < x^2 < \frac{85}{3} $$ Решим полученное двойное неравенство: $$ \sqrt{\frac{5}{3}} < |x| < \sqrt{\frac{85}{3}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателях: $\sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$, $\sqrt{\frac{85}{3}} = \frac{\sqrt{255}}{3}$. Получаем: $$ x \in \left(-\frac{\sqrt{255}}{3}; -\frac{\sqrt{15}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{15}}{3}; \frac{\sqrt{255}}{3}\right) $$ Ответ: $\left(-\frac{\sqrt{255}}{3}; -\frac{\sqrt{15}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{15}}{3}; \frac{\sqrt{255}}{3}\right)$.