ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 205

### a) $$ \frac{|x+6| + \sqrt{1-x} - 5}{|x-2| - 3\sqrt{x+5} + 3} \leq 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 1 - x \geq 0, \\ x + 5 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 1, \\ x \geq -5 \end{cases} \iff x \in [-5; 1]. $$ 2. Раскроем модули для всех $x \in [-5; 1]$: - так как $x \geq -5$, то $x + 6 \geq 1 > 0$, следовательно, $|x+6| = x + 6$; - так как $x \leq 1$, то $x - 2 \leq -1 < 0$, следовательно, $|x-2| = -(x - 2) = 2 - x$. Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель: - Числитель: $$ N(x) = x + 6 + \sqrt{1-x} - 5 = x + 1 + \sqrt{1-x}. $$ - Знаменатель: $$ D(x) = 2 - x - 3\sqrt{x+5} + 3 = 5 - x - 3\sqrt{x+5}. $$ 3. Найдём нули и знаки числителя $N(x)$ на отрезке $[-5; 1]$: $$ \sqrt{1-x} + (x+1) = 0 \iff \sqrt{1-x} = -(x+1). $$ Так как $\sqrt{1-x} \geq 0$, должно выполняться условие $-(x+1) \geq 0$, то есть $x \leq -1$. Возведём обе части в квадрат: $$ 1 - x = (x+1)^2 \iff 1 - x = x^2 + 2x + 1 \iff x^2 + 3x = 0 \iff x(x+3) = 0. $$ Получаем корни $x = 0$ и $x = -3$. С учётом условия $x \leq -1$ подходит только $x = -3$. При $x \in (-1; 1]$ выражение $x + 1 > 0$ и $\sqrt{1-x} \geq 0$, значит, $N(x) > 0$. При $x \in [-5; -1]$ оба слагаемых $\sqrt{1-x}$ и $-(x+1)$ неотрицательны, поэтому знак разности $\sqrt{1-x} - (-(x+1))$ совпадает со знаком разности квадратов: $$ (1-x) - (x+1)^2 = -x(x+3). $$ Так как на отрезке $[-5; -1]$ множитель $-x > 0$, знак выражения определяется множителем $(x+3)$: - $N(x) < 0$ при $x \in [-5; -3)$; - $N(x) = 0$ при $x = -3$; - $N(x) > 0$ при $x \in (-3; 1]$. 4. Найдём нули и знаки знаменателя $D(x)$ на отрезке $[-5; 1]$: $$ 5 - x - 3\sqrt{x+5} = 0 \iff 3\sqrt{x+5} = 5 - x. $$ Для любого $x \in [-5; 1]$ правая часть $5 - x \geq 4 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 9(x+5) = (5-x)^2 \iff 9x + 45 = x^2 - 10x + 25 \iff x^2 - 19x - 20 = 0. $$ По теореме Виета корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 20$. В ОДД входит только корень $x = -1$. Поскольку $5 - x > 0$ и $3\sqrt{x+5} \geq 0$ на всей ОДЗ, знак разности $(5-x) - 3\sqrt{x+5}$ совпадает со знаком разности их квадратов: $$ (5-x)^2 - 9(x+5) = x^2 - 19x - 20 = (x+1)(x-20). $$ Так как $x \leq 1$, множитель $(x-20) < 0$, поэтому знак выражения противоположен знаку $(x+1)$: - $D(x) > 0$ при $x \in [-5; -1)$; - $D(x) = 0$ при $x = -1$; - $D(x) < 0$ при $x \in (-1; 1]$. 5. Определим знак дроби $\frac{N(x)}{D(x)}$ на интервалах внутри ОДЗ $[-5; 1]$: - при $x \in [-5; -3]$: $N(x) \leq 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$; - при $x \in (-3; -1)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} > 0$; - при $x = -1$: знаменатель обращается в ноль (точка выколота); - при $x \in (-1; 1]$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Ответ: $x \in [-5; -3] \cup (-1; 1]$. --- ### b) $$ \frac{|x+4| - \sqrt{3-x} - 1}{|x-4| - \sqrt{x+3} - 1} \leq 0 $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 3 - x \geq 0, \\ x + 3 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq -3 \end{cases} \iff x \in [-3; 3]. $$ 2. Раскроем модули для всех $x \in [-3; 3]$: - $x + 4 \geq 1 > 0 \implies |x+4| = x + 4$; - $x - 4 \leq -1 < 0 \implies |x-4| = 4 - x$. Преобразуем дробь: - Числитель: $$ N(x) = x + 4 - \sqrt{3-x} - 1 = x + 3 - \sqrt{3-x}. $$ - Знаменатель: $$ D(x) = 4 - x - \sqrt{x+3} - 1 = 3 - x - \sqrt{x+3}. $$ 3. Найдём нули и знаки числителя $N(x)$ на отрезке $[-3; 3]$: $$ \sqrt{3-x} = x + 3. $$ Так как $x \geq -3$, то $x + 3 \geq 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 3 - x = (x+3)^2 \iff 3 - x = x^2 + 6x + 9 \iff x^2 + 7x + 6 = 0 \iff (x+1)(x+6) = 0. $$ С учётом $x \in [-3; 3]$ подходит только корень $x = -1$. Знак выражения $(x+3) - \sqrt{3-x}$ совпадает со знаком разности квадратов $(x+3)^2 - (3-x) = (x+1)(x+6)$. Поскольку $x \in [-3; 3]$, множитель $x+6 > 0$, значит, знак совпадает со знаком $(x+1)$: - $N(x) < 0$ при $x \in [-3; -1)$; - $N(x) = 0$ при $x = -1$; - $N(x) > 0$ при $x \in (-1; 3]$. 4. Найдём нули и знаки знаменателя $D(x)$ на отрезке $[-3; 3]$: $$ \sqrt{x+3} = 3 - x. $$ Так как $x \leq 3$, то $3 - x \geq 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ x + 3 = (3-x)^2 \iff x + 3 = x^2 - 6x + 9 \iff x^2 - 7x + 6 = 0 \iff (x-1)(x-6) = 0. $$ С учётом $x \in [-3; 3]$ подходит только корень $x = 1$. Знак выражения $(3-x) - \sqrt{x+3}$ совпадает со знаком разности квадратов $(3-x)^2 - (x+3) = (x-1)(x-6)$. Так как $x-6 < 0$ для всех $x \in [-3; 3]$, знак противоположен знаку $(x-1)$: - $D(x) > 0$ при $x \in [-3; 1)$; - $D(x) = 0$ при $x = 1$; - $D(x) < 0$ при $x \in (1; 3]$. 5. Определим знак дроби $\frac{N(x)}{D(x)}$: - при $x \in [-3; -1]$: $N(x) \leq 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$; - при $x \in (-1; 1)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} > 0$; - при $x = 1$: знаменатель равен нулю; - при $x \in (1; 3]$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} < 0$. Ответ: $x \in [-3; -1] \cup (1; 3]$. --- ### c) $$ \frac{|x-3| - 2\sqrt{x+4} + 1}{|x+5| - 2\sqrt{2-x} + 1} \leq 0 $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 4 \geq 0, \\ 2 - x \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq -4, \\ x \leq 2 \end{cases} \iff x \in [-4; 2]. $$ 2. Раскроем модули для всех $x \in [-4; 2]$: - $x - 3 \leq -1 < 0 \implies |x-3| = 3 - x$; - $x + 5 \geq 1 > 0 \implies |x+5| = x + 5$. Преобразуем числитель и знаменатель: - Числитель: $$ N(x) = 3 - x - 2\sqrt{x+4} + 1 = 4 - x - 2\sqrt{x+4}. $$ - Знаменатель: $$ D(x) = x + 5 - 2\sqrt{2-x} + 1 = x + 6 - 2\sqrt{2-x}. $$ 3. Найдём нули и знаки числителя $N(x)$ на отрезке $[-4; 2]$: $$ 2\sqrt{x+4} = 4 - x. $$ Так как $x \leq 2$, то $4 - x \geq 2 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 4(x+4) = (4-x)^2 \iff 4x + 16 = x^2 - 8x + 16 \iff x^2 - 12x = 0 \iff x(x-12) = 0. $$ В ОДЗ входит только корень $x = 0$. Знак выражения $(4-x) - 2\sqrt{x+4}$ совпадает со знаком разности квадратов $(4-x)^2 - 4(x+4) = x(x-12)$. Так как $x-12 < 0$, знак противоположен знаку $x$: - $N(x) > 0$ при $x \in [-4; 0)$; - $N(x) = 0$ при $x = 0$; - $N(x) < 0$ при $x \in (0; 2]$. 4. Найдём нули и знаки знаменателя $D(x)$ на отрезке $[-4; 2]$: $$ 2\sqrt{2-x} = x + 6. $$ Так как $x \geq -4$, то $x + 6 \geq 2 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 4(2-x) = (x+6)^2 \iff 8 - 4x = x^2 + 12x + 36 \iff x^2 + 16x + 28 = 0 \iff (x+2)(x+14) = 0. $$ В ОДЗ входит только корень $x = -2$. Знак выражения $(x+6) - 2\sqrt{2-x}$ совпадает со знаком разности квадратов $(x+6)^2 - 4(2-x) = (x+2)(x+14)$. Так как $x+14 > 0$, знак совпадает со знаком $(x+2)$: - $D(x) < 0$ при $x \in [-4; -2)$; - $D(x) = 0$ при $x = -2$; - $D(x) > 0$ при $x \in (-2; 2]$. 5. Определим знак дроби $\frac{N(x)}{D(x)}$: - при $x \in [-4; -2)$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} < 0$; - при $x = -2$: знаменатель равен нулю; - при $x \in (-2; 0)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} > 0$; - при $x \in [0; 2]$: $N(x) \leq 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$. Ответ: $x \in [-4; -2) \cup [0; 2]$. --- ### d) $$ \frac{|x-5| - 2\sqrt{x+2} + 1}{|x+3| - 2\sqrt{4-x} + 1} \leq 0 $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 \geq 0, \\ 4 - x \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq -2, \\ x \leq 4 \end{cases} \iff x \in [-2; 4]. $$ 2. Раскроем модули для всех $x \in [-2; 4]$: - $x - 5 \leq -1 < 0 \implies |x-5| = 5 - x$; - $x + 3 \geq 1 > 0 \implies |x+3| = x + 3$. Преобразуем числитель и знаменатель: - Числитель: $$ N(x) = 5 - x - 2\sqrt{x+2} + 1 = 6 - x - 2\sqrt{x+2}. $$ - Знаменатель: $$ D(x) = x + 3 - 2\sqrt{4-x} + 1 = x + 4 - 2\sqrt{4-x}. $$ 3. Найдём нули и знаки числителя $N(x)$ на отрезке $[-2; 4]$: $$ 2\sqrt{x+2} = 6 - x. $$ Так как $x \leq 4$, то $6 - x \geq 2 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 4(x+2) = (6-x)^2 \iff 4x + 8 = x^2 - 12x + 36 \iff x^2 - 16x + 28 = 0 \iff (x-2)(x-14) = 0. $$ В ОДЗ входит только корень $x = 2$. Знак выражения $(6-x) - 2\sqrt{x+2}$ совпадает со знаком $(6-x)^2 - 4(x+2) = (x-2)(x-14)$. Так как $x-14 < 0$, знак противоположен знаку $(x-2)$: - $N(x) > 0$ при $x \in [-2; 2)$; - $N(x) = 0$ при $x = 2$; - $N(x) < 0$ при $x \in (2; 4]$. 4. Найдём нули и знаки знаменателя $D(x)$ на отрезке $[-2; 4]$: $$ 2\sqrt{4-x} = x + 4. $$ Так как $x \geq -2$, то $x + 4 \geq 2 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 4(4-x) = (x+4)^2 \iff 16 - 4x = x^2 + 8x + 16 \iff x^2 + 12x = 0 \iff x(x+12) = 0. $$ В ОДЗ входит только корень $x = 0$. Знак выражения $(x+4) - 2\sqrt{4-x}$ совпадает со знаком $(x+4)^2 - 4(4-x) = x(x+12)$. Так как $x+12 > 0$, знак совпадает со знаком $x$: - $D(x) < 0$ при $x \in [-2; 0)$; - $D(x) = 0$ при $x = 0$; - $D(x) > 0$ при $x \in (0; 4]$. 5. Определим знак дроби $\frac{N(x)}{D(x)}$: - при $x \in [-2; 0)$: $N(x) > 0$, $D(x) < 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} < 0$; - при $x = 0$: знаменатель равен нулю; - при $x \in (0; 2)$: $N(x) > 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} > 0$; - при $x \in [2; 4]$: $N(x) \leq 0$, $D(x) > 0 \implies \frac{N(x)}{D(x)} \leq 0$. Ответ: $x \in [-2; 0) \cup [2; 4]$.