ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 203

а) Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{2x^2 - 5x - 3}}{6 + 3\sqrt{3}x - 2x^2} \ge 0 $$ *(В знаменателе переменная $x$ находится вне знака корня: $3\sqrt{3}\cdot x$)*. Дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда числитель равен нулю при условии, что знаменатель отличен от нуля, либо когда числитель и знаменатель строго положительны. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 \\ 6 + 3\sqrt{3}x - 2x^2 > 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство системы: $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 5x - 3 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = 3 $$ Ветви параболы направлены вверх, поэтому: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right] \cup [3; +\infty) $$ 2. Решим второе неравенство системы: $6 + 3\sqrt{3}x - 2x^2 > 0$. Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ 2x^2 - 3\sqrt{3}x - 6 < 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 - 3\sqrt{3}x - 6 = 0$: $$ D = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 27 + 48 = 75 = (5\sqrt{3})^2 $$ $$ x_3 = \frac{3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ x_4 = \frac{3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} $$ Решением неравенства является интервал между корнями: $$ x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 2\sqrt{3}\right) $$ 3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: Сравним граничные точки: - $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$: так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, откуда $-\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{2}$. - $3$ и $2\sqrt{3}$: так как $3 = \sqrt{9}$, а $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, то $3 < 2\sqrt{3}$. Пересекая промежутки $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right] \cup [3; +\infty)$ и $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 2\sqrt{3}\right)$, получаем: $$ x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right] \cup [3; 2\sqrt{3}) $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right] \cup [3; 2\sqrt{3})$. --- б) Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{x^2 + 5x - 84}}{x - 7} \ge 0 $$ Дробь определена и неотрицательна в двух случаях: 1. Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $$ \begin{cases} x^2 + 5x - 84 = 0 \\ x - 7 \ne 0 \end{cases} $$ Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 84 = 0$ по теореме Виета: $$ x_1 = -12, \quad x_2 = 7 $$ С учетом условия $x \ne 7$, значение $x = 7$ постороннее, а $x = -12$ является решением. 2. Числитель строго положителен, и знаменатель строго положителен: $$ \begin{cases} x^2 + 5x - 84 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases} $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ \begin{cases} (x + 12)(x - 7) > 0 \\ x > 7 \end{cases} $$ При $x > 7$ множитель $(x - 7) > 0$ и $(x + 12) > 0$, следовательно, первое неравенство выполняется для всех $x > 7$. Решением этой системы является промежуток $(7; +\infty)$. 3. Объединим решения обоих случаев: $$ x \in \{-12\} \cup (7; +\infty) $$ Ответ: $x \in \{-12\} \cup (7; +\infty)$.