ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 202

а) Решим неравенство: $$ (9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2 3x \geqslant 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ 3x > 0 \implies x > 0 $$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (9x^2 - 9x + 2) \cdot \log_2 3x$: - Приравняем к нулю первый множитель: $$ 9x^2 - 9x + 2 = 0 $$ $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ Тогда квадратный трёхчлен раскладывается на множители: $$ 9x^2 - 9x + 2 = (3x - 1)(3x - 2) $$ - Приравняем к нулю второй множитель: $$ \log_2 3x = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} $$ 3. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак выражения $\log_2 3x$ совпадает со знаком разности $(3x - 1)$ при всех $x > 0$. Следовательно, на ОДЗ знак функции $f(x)$ совпадает со знаком выражения: $$ (3x - 1)(3x - 2)(3x - 1) = (3x - 1)^2 (3x - 2) $$ Корень $x = \frac{1}{3}$ имеет чётную кратность (при переходе через него знак выражения не меняется), а корень $x = \frac{2}{3}$ — нечётную кратность. 4. Применим метод интервалов на луче $(0; +\infty)$: - при $x > \frac{2}{3}$ выражение положительно ($+$); - при $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$ выражение отрицательно ($-$), в точке $x = \frac{1}{3}$ равно нулю; - при $0 < x < \frac{1}{3}$ выражение отрицательно ($-$). Неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), поэтому нули функции включаются в решение: изолированная точка $x = \frac{1}{3}$ и промежуток $\left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$. Ответ: $\left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$. --- б) Решим неравенство: $$ (20x - 25x^2 - 3) \cdot \log_3 5x \leqslant 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ 5x > 0 \implies x > 0 $$ 2. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ (25x^2 - 20x + 3) \cdot \log_3 5x \geqslant 0 $$ 3. Найдём нули функции $g(x) = (25x^2 - 20x + 3) \cdot \log_3 5x$: - Приравняем к нулю первый множитель: $$ 25x^2 - 20x + 3 = 0 $$ $$ D_1 = (-10)^2 - 25 \cdot 3 = 100 - 75 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 - 5}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{10 + 5}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} $$ Тогда: $$ 25x^2 - 20x + 3 = (5x - 1)(5x - 3) $$ - Приравняем к нулю второй множитель: $$ \log_3 5x = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5} $$ 4. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак выражения $\log_3 5x$ совпадает со знаком разности $(5x - 1)$ при всех $x > 0$. Значит, на ОДЗ знак произведения совпадает со знаком выражения: $$ (5x - 1)(5x - 3)(5x - 1) = (5x - 1)^2 (5x - 3) $$ Корень $x = \frac{1}{5}$ имеет чётную кратность (кратность 2), а корень $x = \frac{3}{5}$ — нечётную кратность. 5. Применим метод интервалов на промежутке $(0; +\infty)$: - при $x > \frac{3}{5}$ выражение положительно ($+$); - при $\frac{1}{5} < x < \frac{3}{5}$ выражение отрицательно ($-$), в точке $x = \frac{1}{5}$ равно нулю; - при $0 < x < \frac{1}{5}$ выражение отрицательно ($-$). Нам требуются значения, при которых выражение неотрицательно ($\geqslant 0$). Это изолированная точка $x = \frac{1}{5}$ и луч $\left[\frac{3}{5}; +\infty\right)$. Ответ: $\left\{\frac{1}{5}\right\} \cup \left[\frac{3}{5}; +\infty\right)$.