ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 184

Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{(\sqrt{31}-\sqrt{21})}(x^2-9) \geq 0 $$ Оценим основание логарифма $a = \sqrt{31} - \sqrt{21}$: 1. Так как $31 > 21$, то $\sqrt{31} > \sqrt{21}$, следовательно, $a > 0$. 2. Сравним $a$ с $1$: выясним знак разности или сравним числа $\sqrt{31}$ и $1 + \sqrt{21}$. Так как обе части положительны, возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{31})^2 \vee (1 + \sqrt{21})^2 $$ $$ 31 \vee 1 + 2\sqrt{21} + 21 $$ $$ 31 \vee 22 + 2\sqrt{21} $$ $$ 9 \vee 2\sqrt{21} $$ Возведём обе части в квадрат ещё раз: $$ 9^2 \vee (2\sqrt{21})^2 $$ $$ 81 < 84 $$ Значит, $9 < 2\sqrt{21}$, откуда $\sqrt{31} < 1 + \sqrt{21}$, то есть: $$ \sqrt{31} - \sqrt{21} < 1 $$ Таким образом, для основания выполняется условие $0 < \sqrt{31} - \sqrt{21} < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Перейдём от логарифмического неравенства к равносильной системе, изменив знак неравенства на противоположный и учитывая область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x^2 - 9 \leq (\sqrt{31} - \sqrt{21})^0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2 - 9 \leq 1 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2 \leq 10 \\ x^2 > 9 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $x^2 \leq 10 \iff x^2 - 10 \leq 0 \iff (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$, откуда $x \in [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$. 2. $x^2 > 9 \iff x^2 - 9 > 0 \iff (x - 3)(x + 3) > 0$, откуда $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Найдём пересечение полученных промежутков: $$ x \in [-\sqrt{10}; -3) \cup (3; \sqrt{10}] $$ Ответ: $[-\sqrt{10}; -3) \cup (3; \sqrt{10}]$.