ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 186

а) $5 \sin x - \sin 2x > 0$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ 5 \sin x - 2 \sin x \cos x > 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (5 - 2 \cos x) > 0 $$ Оценим выражение в скобках. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то: $$ -2 \le -2 \cos x \le 2 \implies 3 \le 5 - 2 \cos x \le 7 $$ Значит, множитель $(5 - 2 \cos x)$ положителен при любых значениях $x$. Разделив обе части неравенства на положительное выражение $(5 - 2 \cos x)$, получаем равносильное неравенство: $$ \sin x > 0 $$ По единичной окружности значения синуса положительны в I и II четвертях: $$ 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}$. б) $5 \cos x + \sin 2x < 0$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ 5 \cos x + 2 \sin x \cos x < 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (5 + 2 \sin x) < 0 $$ Оценим выражение в скобках. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то: $$ -2 \le 2 \sin x \le 2 \implies 3 \le 5 + 2 \sin x \le 7 $$ Значит, множитель $(5 + 2 \sin x)$ положителен при любых значениях $x$. Разделив обе части неравенства на положительное выражение $(5 + 2 \sin x)$, получаем равносильное неравенство: $$ \cos x < 0 $$ По единичной окружности значения косинуса отрицательны во II и III четвертях: $$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.