ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 181

Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_2 x + \log_2 (x+1) < \log_2 (2x+6) $$ **1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):** Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x + 1 > 0, \\ 2x + 6 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0, \\ x > -1, \\ x > -3 \end{cases} $$ Пересечением этих условий является промежуток: $$ x > 0 $$ **2. Преобразуем и решим неравенство:** Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_2 (x(x+1)) < \log_2 (2x+6) $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям под знаком логарифма: $$ x(x+1) < 2x + 6 $$ Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + x - 2x - 6 < 0 $$ $$ x^2 - x - 6 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x + 2)(x - 3) < 0 $$ Решением этого квадратного неравенства является интервал: $$ -2 < x < 3 $$ **3. Учтем ОДЗ:** Найдем пересечение найденного решения с областью допустимых значений: $$ \begin{cases} -2 < x < 3, \\ x > 0 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ 0 < x < 3 $$ Ответ: $(0; 3)$.