ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 185

### а) $\operatorname{tg} 3x > 0$ Функция $y = \operatorname{tg} t$ определена и возрастает на интервалах вида $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$. Неравенство $\operatorname{tg} t > 0$ выполняется, когда: $$ \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Сделаем подстановку $t = 3x$: $$ \pi k < 3x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части двойного неравенства на $3$: $$ \frac{\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### б) $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1$ Решим простейшее неравенство $\operatorname{tg} t < 1$. С учётом промежутка возрастания и периодичности тангенса: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x + \frac{\pi}{4}$: $$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства: $$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ -\frac{3\pi}{4} + \pi k < x < \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + \pi k; \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### в) $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$ Решим неравенство $\operatorname{tg} t \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем: $$ \frac{\pi}{6} + \pi k \leqslant t < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x - \frac{\pi}{6}$: $$ \frac{\pi}{6} + \pi k \leqslant x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства: $$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \frac{\pi}{3} + \pi k \leqslant x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### г) $\operatorname{ctg} 2x \leqslant 0$ Функция $y = \operatorname{ctg} t$ убывает на каждом интервале вида $(\pi k; \pi + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, и обращается в ноль при $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Неравенство $\operatorname{ctg} t \leqslant 0$ выполняется при: $$ \frac{\pi}{2} + \pi k \leqslant t < \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = 2x$: $$ \frac{\pi}{2} + \pi k \leqslant 2x < \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части двойного неравенства на $2$: $$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### д) $\operatorname{ctg}\left(2x - \frac{4\pi}{3}\right) > \sqrt{3}$ Решим неравенство $\operatorname{ctg} t > \sqrt{3}$. Так как $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, а котангенс убывает на интервале $(0; \pi)$, получаем: $$ \pi k < t < \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = 2x - \frac{4\pi}{3}$: $$ \pi k < 2x - \frac{4\pi}{3} < \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{4\pi}{3}$ ко всем частям неравенства: $$ \frac{4\pi}{3} + \pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \frac{4\pi}{3} + \pi k < 2x < \frac{3\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на $2$: $$ \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}; \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### е) $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \geqslant -1$ Решим неравенство $\operatorname{ctg} t \geqslant -1$. Так как $\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1$, с учётом интервала убывания функции: $$ \pi k < t \leqslant \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $t = x - \frac{\pi}{4}$: $$ \pi k < x - \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства: $$ \frac{\pi}{4} + \pi k < x \leqslant \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \frac{\pi}{4} + \pi k < x \leqslant \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \pi + \pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z}$.