ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 178

а) $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > 2\log_{0,4} 0,2 - 1$ Преобразуем правую часть неравенства, используя свойства логарифмов: $2\log_{0,4} 0,2 - 1 = \log_{0,4} (0,2^2) - \log_{0,4} 0,4 = \log_{0,4} 0,04 - \log_{0,4} 0,4 = \log_{0,4} \left(\frac{0,04}{0,4}\right) = \log_{0,4} 0,1$ Исходное неравенство принимает вид: $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > \log_{0,4} 0,1$ Так как основание логарифма $0 < 0,4 < 1$, логарифмическая функция убывает. Переходя к подлогарифмическим выражениям, меняем знак неравенства на противоположный и учитываем условие положительности аргумента логарифма: $$ \begin{cases} 3,5 - 5x < 0,1 \\ 3,5 - 5x > 0 \end{cases} $$ Решим полученную систему: $$ \begin{cases} -5x < 0,1 - 3,5 \\ -5x > -3,5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -5x < -3,4 \\ -5x > -3,5 \end{cases} $$ Разделим обе части каждого неравенства на $-5$, меняя знаки неравенств: $$ \begin{cases} x > 0,68 \\ x < 0,7 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $0,68 < x < 0,7$, или $x \in (0,68; 0,7)$. Ответ: $(0,68; 0,7)$. --- б) $1 + 2\log_{2} 0,3 > \log_{2}(1,5 - 3x)$ Преобразуем левую часть неравенства: $1 + 2\log_{2} 0,3 = \log_{2} 2 + \log_{2} (0,3^2) = \log_{2} 2 + \log_{2} 0,09 = \log_{2} (2 \cdot 0,09) = \log_{2} 0,18$ Перепишем неравенство: $\log_{2} (1,5 - 3x) < \log_{2} 0,18$ Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. С учётом области допустимых значений аргумента получаем систему: $$ \begin{cases} 1,5 - 3x < 0,18 \\ 1,5 - 3x > 0 \end{cases} $$ Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -3x < 0,18 - 1,5 \\ -3x > -1,5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -3x < -1,32 \\ -3x > -1,5 \end{cases} $$ Разделим обе части каждого неравенства на $-3$, меняя знаки неравенств: $$ \begin{cases} x > 0,44 \\ x < 0,5 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $0,44 < x < 0,5$, или $x \in (0,44; 0,5)$. Ответ: $(0,44; 0,5)$.