ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 175

Решите неравенство: $$ \sqrt{x^2 - 8x + 12} \geq x - 5 $$ Иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \geq 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geq 0, \\ f(x) \geq (g(x))^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Подставим выражения из исходного неравенства: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x - 5 < 0, \\ x^2 - 8x + 12 \geq 0; \end{cases} \quad (1) \\ &\begin{cases} x - 5 \geq 0, \\ x^2 - 8x + 12 \geq (x - 5)^2. \end{cases} \quad (2) \end{aligned} \right. $$ **Решим первую систему (1):** 1. Из первого неравенства: $$ x < 5 $$ 2. Для второго неравенства решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x - 2)(x - 6) \geq 0 $$ Решением этого неравенства является объединение промежутков: $$ x \in (-\infty; 2] \cup [6; +\infty) $$ 3. Пересечем полученные условия: $$ \begin{cases} x < 5, \\ x \in (-\infty; 2] \cup [6; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty; 2] $$ **Решим вторую систему (2):** 1. Из первого неравенства: $$ x \geq 5 $$ 2. Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 8x + 12 \geq x^2 - 10x + 25 $$ $$ -8x + 10x \geq 25 - 12 $$ $$ 2x \geq 13 $$ $$ x \geq 6{,}5 $$ 3. Пересечем полученные условия: $$ \begin{cases} x \geq 5, \\ x \geq 6{,}5 \end{cases} \implies x \in [6{,}5; +\infty) $$ **Объединим решения обеих систем:** $$ x \in (-\infty; 2] \cup [6{,}5; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 2] \cup [6{,}5; +\infty)$