ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 176

а) $\log_{0,5}(3 - 2x) > -\log_{0,5}3$ Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифма $- \log_a b = \log_a (b^{-1})$: $$ -\log_{0,5}3 = \log_{0,5}\left(3^{-1}\right) = \log_{0,5}\left(\frac{1}{3}\right) $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{0,5}(3 - 2x) > \log_{0,5}\left(\frac{1}{3}\right) $$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный, при этом выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ \begin{cases} 3 - 2x < \dfrac{1}{3} \\ 3 - 2x > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1) $3 - 2x < \dfrac{1}{3} \implies -2x < \dfrac{1}{3} - 3 \implies -2x < -\dfrac{8}{3} \implies x > \dfrac{4}{3}$ 2) $3 - 2x > 0 \implies -2x > -3 \implies x < \dfrac{3}{2}$ Объединяя условия в систему, получаем: $$ \begin{cases} x > \dfrac{4}{3} \\ x < \dfrac{3}{2} \end{cases} \implies \dfrac{4}{3} < x < \dfrac{3}{2} $$ Ответ: $x \in \left(\dfrac{4}{3}; \dfrac{3}{2}\right)$. --- б) $\log_2(2x - 5) < -\log_2 3$ Преобразуем правую часть неравенства: $$ -\log_2 3 = \log_2\left(3^{-1}\right) = \log_2\left(\frac{1}{3}\right) $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_2(2x - 5) < \log_2\left(\frac{1}{3}\right) $$ Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется, при этом выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} 2x - 5 < \dfrac{1}{3} \\ 2x - 5 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1) $2x - 5 < \dfrac{1}{3} \implies 2x < 5 + \dfrac{1}{3} \implies 2x < \dfrac{16}{3} \implies x < \dfrac{8}{3}$ 2) $2x - 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > \dfrac{5}{2}$ Объединяя условия в систему, получаем: $$ \begin{cases} x < \dfrac{8}{3} \\ x > \dfrac{5}{2} \end{cases} \implies \dfrac{5}{2} < x < \dfrac{8}{3} $$ Ответ: $x \in \left(\dfrac{5}{2}; \dfrac{8}{3}\right)$.