ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 173

а) Решим неравенство: $$ \frac{5x - 3}{\sqrt{7x - 4}} < 1 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть строго положительным, так как корень стоит в знаменателе: $$ 7x - 4 > 0 \implies x > \frac{4}{7} $$ 2. Так как при $x > \frac{4}{7}$ знаменатель $\sqrt{7x - 4} > 0$, умножим обе части неравенства на $\sqrt{7x - 4}$: $$ 5x - 3 < \sqrt{7x - 4} $$ Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: * Первый случай (числитель отрицателен): $$ \begin{cases} x > \frac{4}{7} \\ 5x - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{4}{7} \\ x < \frac{3}{5} \end{cases} \implies x \in \left(\frac{4}{7}; \frac{3}{5}\right) $$ При этих значениях $x$ левая часть отрицательна, а правая строго положительна, следовательно, неравенство верно. * Второй случай (числитель неотрицателен): $$ \begin{cases} 5x - 3 \ge 0 \\ (5x - 3)^2 < 7x - 4 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором неравенстве: $$ 25x^2 - 30x + 9 < 7x - 4 $$ $$ 25x^2 - 37x + 13 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$ D = (-37)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 13 = 1369 - 1300 = 69 $$ $$ x_1 = \frac{37 - \sqrt{69}}{50}, \quad x_2 = \frac{37 + \sqrt{69}}{50} $$ Решением квадратного неравенства является интервал: $$ \frac{37 - \sqrt{69}}{50} < x < \frac{37 + \sqrt{69}}{50} $$ Оценим левый корень: так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то: $$ \frac{37 - \sqrt{69}}{50} < \frac{37 - 8}{50} = \frac{29}{50} < \frac{30}{50} = \frac{3}{5} $$ С учётом условия $x \ge \frac{3}{5}$ получаем: $$ x \in \left[\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}\right) $$ 3. Объединим решения обоих случаев: $$ x \in \left(\frac{4}{7}; \frac{3}{5}\right) \cup \left[\frac{3}{5}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}\right) = \left(\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}\right) $$ Ответ к пункту а: $x \in \left(\frac{4}{7}; \frac{37 + \sqrt{69}}{50}\right)$. --- б) Решим неравенство: $$ \frac{3x - 2}{\sqrt{5x - 2}} < 1 $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ 5x - 2 > 0 \implies x > \frac{2}{5} $$ 2. При $x > \frac{2}{5}$ знаменатель положителен. Умножим обе части неравенства на $\sqrt{5x - 2}$: $$ 3x - 2 < \sqrt{5x - 2} $$ Рассмотрим два случая: * Первый случай (числитель отрицателен): $$ \begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ 3x - 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x < \frac{2}{3} \end{cases} \implies x \in \left(\frac{2}{5}; \frac{2}{3}\right) $$ * Второй случай (числитель неотрицателен): $$ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ (3x - 2)^2 < 5x - 2 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ 9x^2 - 12x + 4 < 5x - 2 $$ $$ 9x^2 - 17x + 6 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 6 = 289 - 216 = 73 $$ $$ x_1 = \frac{17 - \sqrt{73}}{18}, \quad x_2 = \frac{17 + \sqrt{73}}{18} $$ Решение квадратного неравенства: $$ \frac{17 - \sqrt{73}}{18} < x < \frac{17 + \sqrt{73}}{18} $$ Оценим левый корень: так как $8 < \sqrt{73} < 9$, то: $$ \frac{17 - \sqrt{73}}{18} < \frac{17 - 8}{18} = \frac{9}{18} < \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ С учётом условия $x \ge \frac{2}{3}$ получаем: $$ x \in \left[\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}\right) $$ 3. Объединим решения обоих случаев: $$ x \in \left(\frac{2}{5}; \frac{2}{3}\right) \cup \left[\frac{2}{3}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}\right) = \left(\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}\right) $$ Ответ к пункту б: $x \in \left(\frac{2}{5}; \frac{17 + \sqrt{73}}{18}\right)$.