ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 17 - 4

Для записи комплексного числа $z = a + bi$ в тригонометрической форме $$ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) $$ находят его модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ и аргумент $\varphi = \arg z$, определяемый из условий $\cos \varphi = \frac{a}{r}$ и $\sin \varphi = \frac{b}{r}$. --- ### а) $z = 1$ Действительная часть $a = 1$, мнимая часть $b = 0$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 $$ 2. Аргумент: точка $(1; 0)$ лежит на положительной полуоси действительной оси, следовательно, $\varphi = 0$. 3. Тригонометрическая форма: $$ z = 1 \cdot (\cos 0 + i \sin 0) = \cos 0 + i \sin 0 $$ --- ### б) $z = -2$ Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 0$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 $$ 2. Аргумент: точка $(-2; 0)$ лежит на отрицательной полуоси действительной оси, следовательно, $\varphi = \pi$. 3. Тригонометрическая форма: $$ z = 2(\cos \pi + i \sin \pi) $$ --- ### в) $z = i$ Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 1$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 $$ 2. Аргумент: точка $(0; 1)$ лежит на положительной полуоси мнимой оси, следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{2}$. 3. Тригонометрическая форма: $$ z = 1 \cdot \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} $$ --- ### г) $z = -3i$ Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -3$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 $$ 2. Аргумент: точка $(0; -3)$ лежит на отрицательной полуоси мнимой оси, следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\varphi = \frac{3\pi}{2}$). 3. Тригонометрическая форма: $$ z = 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ *(или $z = 3\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)$)* --- ### д) $z = 1 + i$ Действительная часть $a = 1$, мнимая часть $b = 1$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ 2. Аргумент: точка $(1; 1)$ лежит в I координатной четверти: $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{4} $$ 3. Тригонометрическая форма: $$ z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) $$ --- ### е) $z = 1 - i$ Действительная часть $a = 1$, мнимая часть $b = -1$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$ 2. Аргумент: точка $(1; -1)$ лежит в IV координатной четверти: $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = -\frac{\pi}{4} \quad \left(\text{или } \varphi = \frac{7\pi}{4}\right) $$ 3. Тригонометрическая форма: $$ z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) $$ *(или $z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right)$)* --- ### ж) $z = -1 + i$ Действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = 1$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ 2. Аргумент: точка $(-1; 1)$ лежит во II координатной четверти: $$ \cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{3\pi}{4} $$ 3. Тригонометрическая форма: $$ z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) $$ --- ### з) $z = -1 - i$ Действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = -1$. 1. Модуль числа: $$ r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$ 2. Аргумент: точка $(-1; -1)$ лежит в III координатной четверти: $$ \cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = -\frac{3\pi}{4} \quad \left(\text{или } \varphi = \frac{5\pi}{4}\right) $$ 3. Тригонометрическая форма: $$ z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right) $$ *(или $z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right)$)*