ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 17 - 3

Тригонометрической формой ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ называется запись вида: $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ где $r = |z| > 0$ — модуль комплексного числа, а $\varphi$ — его аргумент. Главным аргументом $\arg z$ называют значение аргумента, принадлежащее промежутку $(-\pi; \pi]$ (или $[0; 2\pi)$ в зависимости от принятого соглашения). --- ### а) $z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ 1. Упростим тригонометрические функции с помощью формул чётности и приведения: * $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; * $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 2. Запишем число в алгебраической форме: $$ z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 3. Найдём модуль и аргумент: * $r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$; * $\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{4}$. Угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$ принадлежит обоим стандартным промежуткам: $\frac{\pi}{4} \in (-\pi; \pi]$ и $\frac{\pi}{4} \in [0; 2\pi)$. **Ответ:** $z = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$; главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$. --- ### б) $z = -3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$ 1. В тригонометрической форме коэффициент $r$ перед скобками должен быть строго положительным. Представим $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos\pi + i\sin\pi$. 2. Преобразуем выражение: $$ z = 3 \cdot (-1) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 3(\cos\pi + i\sin\pi)\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$ При умножении комплексных чисел аргументы складываются: $$ \varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$ 3. Найдём значение аргумента: * На промежутке $(-\pi; \pi]$: $\varphi = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$. * На промежутке $[0; 2\pi)$: $\varphi = \frac{5\pi}{4}$. Модуль числа $r = 3$. **Ответ:** $z = 3\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$ (или $z = 3\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right)$); главный аргумент $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\varphi = \frac{5\pi}{4}$). --- ### в) $z = \sin\frac{\pi}{6} + i \cos\frac{\pi}{6}$ 1. В стандартной тригонометрической форме действительная часть выражается через косинус, а мнимая — через синус. Применим формулы приведения: * $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \implies \sin\frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3}$; * $\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \implies \cos\frac{\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$. 2. Подставим полученные выражения: $$ z = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $$ Модуль числа $r = 1$, а аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$ попадает в промежуток $(-\pi; \pi]$ и в промежуток $[0; 2\pi)$. **Ответ:** $z = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$; главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$. --- ### г) $z = \cos\frac{\pi}{3} - i \sin\frac{\pi}{3}$ 1. В тригонометрической форме между действительной и мнимой частями должен стоять знак «плюс». Воспользуемся чётностью косинуса $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и нечётностью синуса $-\sin\alpha = \sin(-\alpha)$: $$ \cos\frac{\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$ $$ -\sin\frac{\pi}{3} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$ 2. Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$ Модуль числа $r = 1$. * На промежутке $(-\pi; \pi]$ главный аргумент равен $\varphi = -\frac{\pi}{3}$. * На промежутке $[0; 2\pi)$ значение аргумента равно $\varphi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. **Ответ:** $z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ (или $z = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}$); главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$ (или $\varphi = \frac{5\pi}{3}$).