ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 17 - 7

Для умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: $$ z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \quad \text{и} \quad z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) $$ используется правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: $$ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)) $$ --- ### а) $$ \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$ Модули множителей равны $1$, поэтому модуль произведения равен $1 \cdot 1 = 1$. Сложим аргументы: $$ \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi $$ Тогда произведение равно: $$ \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + i \cdot 0 = 1 $$ **Ответ:** $\cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$. --- ### б) $$ 3 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \cdot 2 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) $$ Перемножим модули: $$ r = 3 \cdot 2 = 6 $$ Сложим аргументы: $$ \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{12\pi}{4} = 3\pi $$ Тогда: $$ 6 (\cos 3\pi + i \sin 3\pi) = 6 (-1 + i \cdot 0) = -6 $$ *(В тригонометрической форме аргумент $3\pi$ можно привести к промежутку $[0; 2\pi)$: $3\pi = 2\pi + \pi$, следовательно, аргумент равен $\pi$. Тогда запись имеет вид $6(\cos \pi + i \sin \pi)$).* **Ответ:** $6(\cos \pi + i \sin \pi) = -6$. --- ### в) $$ 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) $$ Перемножим модули: $$ r = 2 \cdot 4 = 8 $$ Сложим аргументы: $$ \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{8\pi + 15\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} $$ Тогда произведение равно: $$ 8 \left( \cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12} \right) $$ **Ответ:** $8 \left( \cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12} \right)$. --- ### г) $$ 3 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \cdot 7 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) $$ Перемножим модули: $$ r = 3 \cdot 7 = 21 $$ Сложим аргументы: $$ \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi + 7\pi}{12} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4} $$ Тогда произведение равно: $$ 21 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) $$ При необходимости переведём результат в алгебраическую форму: $$ \cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ 21 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{21\sqrt{2}}{2} - \frac{21\sqrt{2}}{2}i $$ **Ответ:** $21 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = \frac{21\sqrt{2}}{2} - \frac{21\sqrt{2}}{2}i$.