ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 116

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin x = 2 \operatorname{ctg} x $$ Область допустимых значений: котангенс определён при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$: $$ \sin x = \frac{2 \cos x}{\sin x} $$ Умножим обе части уравнения на $\sin x \neq 0$: $$ \sin^2 x = 2 \cos x $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, сведем уравнение к одной тригонометрической функции: $$ 1 - \cos^2 x = 2 \cos x $$ $$ \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + 2t - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$ Корни уравнения: $$ t_{1, 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ 1) $t_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2{,}41 < -1$, что не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. 2) $t_2 = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}41 \in [-1; 1]$. Выполним обратную замену: $$ \cos x = \sqrt{2} - 1 $$ Отсюда находим $x$: $$ x = \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как для этих значений $\cos x = \sqrt{2} - 1 \neq \pm 1$, условие $\sin x \neq 0$ выполняется. Ответ: $x = \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.