ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 115

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \sin x = \frac{1}{2} $$ Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$: $$ \cos 2x \cos \frac{\pi}{3} + \sin 2x \sin \frac{\pi}{3} - \sin x = \frac{1}{2} $$ Подставим значения $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \sin x = \frac{1}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ \cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin x = 1 $$ Перенесем единицу в левую часть: $$ (\cos 2x - 1) + \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin x = 0 $$ Используем формулы $\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ -2\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 2\sin x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ \sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x + \sin x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x - \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 $$ 1) Решим первое уравнение: $$ \sin x = 0 $$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Решим второе уравнение: $$ \sin x - \sqrt{3}\cos x = -1 $$ Разделим обе части на $2$, используя метод вспомогательного угла: $$ \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = -\frac{1}{2} $$ Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, запишем левую часть как синус разности: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$ Получаем две серии решений: * Первая серия: $$ x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ * Вторая серия: $$ x - \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $$ $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.