ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 113

Решим тригонометрическое уравнение: $$ 5(\sin 2x)^2 + 8\cos^3 x = 8\cos x $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 5(2\sin x \cos x)^2 + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0 $$ $$ 20\sin^2 x \cos^2 x + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0 $$ Сгруппируем слагаемые, вынеся общий множитель за скобки: $$ 20\sin^2 x \cos^2 x - 8\cos x(1 - \cos^2 x) = 0 $$ Применим основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$ 20\sin^2 x \cos^2 x - 8\cos x \sin^2 x = 0 $$ Вынесем общий множитель $4\sin^2 x \cos x$: $$ 4\sin^2 x \cos x (5\cos x - 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ Объединяя первые два случая ($\sin x \cos x = 0 \iff \sin 2x = 0$), получаем: $$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3) $5\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = \frac{2}{5}$ $$ x = \pm \arccos\frac{2}{5} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ --- Выполним отбор корней, принадлежащих отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$: 1. Для серии $x = \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$: - при $k = 3$: $x = \frac{3\pi}{2}$ (входит, левая граница отрезка); - при $k = 4$: $x = 2\pi$ (входит, правая граница отрезка). 2. Для серии $x = \pm \arccos\frac{2}{5} + 2\pi m, \ m \in \mathbb{Z}$: - Так как $0 < \frac{2}{5} < 1$, значение угла $\arccos\frac{2}{5} \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. - Для ветви со знаком «$+$»: при $m = 0$ корень лежит в интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, при $m = 1$ корень больше $2\pi$. - Для ветви со знаком «$-$»: при $m = 1$ получаем $x = 2\pi - \arccos\frac{2}{5}$. Так как $0 < \arccos\frac{2}{5} < \frac{\pi}{2}$, справедливо неравенство: $$ \frac{3\pi}{2} < 2\pi - \arccos\frac{2}{5} < 2\pi $$ Следовательно, значение $x = 2\pi - \arccos\frac{2}{5}$ принадлежит отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$. Ответ: $\frac{3\pi}{2}; \ 2\pi - \arccos\frac{2}{5}; \ 2\pi$.