ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 110

**110.** Решим тригонометрическое уравнение: $$ 3\cos 2x + 4\sin x = 1 $$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 3(1 - 2\sin^2 x) + 4\sin x = 1 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3 - 6\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0 $$ $$ -6\sin^2 x + 4\sin x + 2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ 3\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0 $$ Пусть $\sin x = t$, причем $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену: 1) $\sin x = 1$ $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin x = -\frac{1}{3}$ $$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, получаем: $$ x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.