ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 107

а) $\sqrt{3}\sin^2 x + 0,5\sin(\pi + 2x) = 0$ Используем формулу приведения $\sin(\pi + 2x) = -\sin 2x$: $$ \sqrt{3}\sin^2 x - 0,5\sin 2x = 0 $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ \sqrt{3}\sin^2 x - 0,5 \cdot 2\sin x \cos x = 0 $$ $$ \sqrt{3}\sin^2 x - \sin x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0$ Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \sqrt{3}\,\text{tg}\,x - 1 = 0 $$ $$ \text{tg}\,x = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k, \; x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. б) $\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = 0$ Используем формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin 2x$: $$ \sqrt{3}\cos^2 x - 0,5\sin 2x = 0 $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ \sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \cdot 2\sin x \cos x = 0 $$ $$ \sqrt{3}\cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (\sqrt{3}\cos x - \sin x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0$ Так как при $\cos x = 0$ синус не может быть равен нулю, разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$: $$ \sqrt{3} - \text{tg}\,x = 0 $$ $$ \text{tg}\,x = \sqrt{3} $$ $$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.