ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 108

а) Решим уравнение: $$ \cos 2x = 2\operatorname{tg}^2 x - \cos^2 x $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): тангенс определён при $\cos x \neq 0$. 2. Преобразуем уравнение. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и тождество $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$: $$ 2\cos^2 x - 1 = 2\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) - \cos^2 x $$ Перенесём слагаемое $-\cos^2 x$ в левую часть и раскроем скобки: $$ 3\cos^2 x - 1 = \frac{2}{\cos^2 x} - 2 $$ $$ 3\cos^2 x + 1 - \frac{2}{\cos^2 x} = 0 $$ 3. Пусть $t = \cos^2 x$. С учётом ОДЗ получаем $0 < t \le 1$. Уравнение принимает вид: $$ 3t + 1 - \frac{2}{t} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $t \neq 0$: $$ 3t^2 + t - 2 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}, \quad t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 $$ Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$. 4. Возвращаемся к замене: $$ \cos^2 x = \frac{2}{3} \implies \cos x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $$ 5. С учётом условия $\cos x < \frac{1}{2}$ проверим найденные значения: - Для $\cos x = \frac{\sqrt{6}}{3}$: так как $\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$, а $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25$, то $\frac{\sqrt{6}}{3} > \frac{1}{2}$, значит, это значение не удовлетворяет неравенству. - Для $\cos x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$: так как $-\frac{\sqrt{6}}{3} < 0 < \frac{1}{2}$, условие выполняется. Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$: $$ x = \pm \left(\pi - \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту а: $x = \pm \left(\pi - \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- б) Решим уравнение: $$ 4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2\operatorname{ctg}^2 x $$ 1. Область допустимых значений: котангенс определён при $\sin x \neq 0$. 2. Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ \sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ 4\sin^4 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 2\operatorname{ctg}^2 x $$ Вынесем $4\sin^2 x$ за скобки в левой части: $$ 4\sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2\operatorname{ctg}^2 x $$ Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ 4\sin^2 x = 2\operatorname{ctg}^2 x $$ Разделим обе части на 2 и распишем $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$: $$ 2\sin^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} $$ Умножим обе части на $\sin^2 x \neq 0$: $$ 2\sin^4 x = \cos^2 x $$ 3. Выразим всё через $\cos^2 x$, учитывая, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 2(1 - \cos^2 x)^2 = \cos^2 x $$ Пусть $u = \cos^2 x$, где $0 \le u < 1$ (так как $\sin x \neq 0$, то $u \neq 1$): $$ 2(1 - 2u + u^2) = u $$ $$ 2u^2 - 4u + 2 - u = 0 $$ $$ 2u^2 - 5u + 2 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ u_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad u_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $$ Значение $u_1 = 2$ не подходит, так как $0 \le u < 1$. 4. Возвращаемся к замене: $$ \cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 5. С учётом условия $\cos x < -\frac{1}{2}$ проверим полученные значения: - $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 > -\frac{1}{2}$ — не удовлетворяет неравенству; - $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}707 < -0{,}5$ — удовлетворяет неравенству. Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ При этих значениях $\sin x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$, то есть ОДЗ выполняется. Ответ к пункту б: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.