ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 26

a) $\log_3 243 \cdot \log_{0,8}(3x - 5) > 0$ Так как $243 = 3^5$, то $\log_3 243 = 5$. Подставим это значение в неравенство: $$ 5 \cdot \log_{0,8}(3x - 5) > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $5$ (знак неравенства сохраняется, так как $5 > 0$): $$ \log_{0,8}(3x - 5) > 0 $$ Представим $0$ как $\log_{0,8} 1$: $$ \log_{0,8}(3x - 5) > \log_{0,8} 1 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,8 < 1$, функция убывает, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный с учётом области допустимых значений: $$ \begin{cases} 3x - 5 < 1 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3x < 6 \\ 3x > 5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 2 \\ x > \dfrac{5}{3} \end{cases} $$ $$ 1\dfrac{2}{3} < x < 2 $$ Ответ: $\left(1\dfrac{2}{3}; 2\right)$. --- b) $\dfrac{\log_{0,2}(2 - 5x)}{\log_5 625} > 0$ Вычислим значение логарифма в знаменателе: так как $625 = 5^4$, то $\log_5 625 = 4$. Получаем неравенство: $$ \dfrac{\log_{0,2}(2 - 5x)}{4} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $4$: $$ \log_{0,2}(2 - 5x) > 0 $$ Так как $0 = \log_{0,2} 1$, перепишем неравенство в виде: $$ \log_{0,2}(2 - 5x) > \log_{0,2} 1 $$ Основание логарифма $0 < 0,2 < 1$, следовательно, логарифмическая функция убывает. Переходим к системе неравенств: $$ \begin{cases} 2 - 5x < 1 \\ 2 - 5x > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -5x < -1 \\ -5x > -2 \end{cases} $$ Разделим обе части на $-5$, меняя знаки неравенств: $$ \begin{cases} x > 0,2 \\ x < 0,4 \end{cases} $$ $$ 0,2 < x < 0,4 $$ Ответ: $(0,2; 0,4)$. --- c) $\log_9(5x - 4) < 0$ Представим $0$ в виде логарифма: $0 = \log_9 1$. $$ \log_9(5x - 4) < \log_9 1 $$ Так как основание логарифма $9 > 1$, функция возрастает, знак неравенства сохраняется. С учётом области допустимых значений составляем систему: $$ \begin{cases} 5x - 4 < 1 \\ 5x - 4 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 5x < 5 \\ 5x > 4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 1 \\ x > 0,8 \end{cases} $$ $$ 0,8 < x < 1 $$ Ответ: $(0,8; 1)$. --- d) $\log_{0,4} 0,064 < 0$ Вычислим значение выражения в левой части: так как $0,064 = 0,4^3$, то: $$ \log_{0,4} 0,064 = 3 $$ Подставим полученное значение в неравенство: $$ 3 < 0 $$ Неравенство является числовым и не содержит переменной. Полученное числовое неравенство $3 < 0$ неверно. Ответ: решений нет (неравенство неверно).