ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 24

### 11.24 **а)** $\log_{25}(x^2 - 7) > \log_{25}(x - 1)$ Так как основание логарифма $25 > 1$, логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Знак неравенства сохраняется, при этом достаточно потребовать положительности меньшего выражения: $$ \begin{cases} x^2 - 7 > x - 1, \\ x - 1 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$x^2 - x - 6 > 0$$ Корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$: $$x_1 = 3, \quad x_2 = -2$$ Следовательно, $(x - 3)(x + 2) > 0$, откуда: $$x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$$ Решим второе неравенство системы: $$x - 1 > 0 \implies x > 1$$ Найдем пересечение полученных решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty), \\ x > 1 \end{cases} \implies x \in (3; +\infty) $$ **Ответ:** $(3; +\infty)$ --- **б)** $\log_7(x^2 - 4) > \log_7(3x + 6)$ Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастает, поэтому переходим к равносильной системе: $$ \begin{cases} x^2 - 4 > 3x + 6, \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$x^2 - 3x - 10 > 0$$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$: $$x_1 = 5, \quad x_2 = -2$$ Следовательно, $(x - 5)(x + 2) > 0$, откуда: $$x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$$ Решим второе неравенство системы: $$3x + 6 > 0 \implies 3x > -6 \implies x > -2$$ Пересечем решения: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty), \\ x > -2 \end{cases} \implies x \in (5; +\infty) $$ **Ответ:** $(5; +\infty)$ --- **в)** $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 3x) > \log_{\frac{1}{7}}(2x - 4)$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный, а меньшее выражение должно быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} x^2 - 3x < 2x - 4, \\ x^2 - 3x > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$x^2 - 5x + 4 < 0$$ Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$: $$x_1 = 1, \quad x_2 = 4$$ Следовательно, $(x - 1)(x - 4) < 0$, откуда: $$x \in (1; 4)$$ Решим второе неравенство системы: $$x(x - 3) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (1; 4), \\ x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \end{cases} \implies x \in (3; 4) $$ **Ответ:** $(3; 4)$ --- **г)** $\log_{\frac{1}{25}}(x^2 - 4x) > \log_{\frac{1}{25}}(2x - 5)$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{25} < 1$, логарифмическая функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, и меньшее выражение должно быть положительным: $$ \begin{cases} x^2 - 4x < 2x - 5, \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$x^2 - 6x + 5 < 0$$ Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$: $$x_1 = 1, \quad x_2 = 5$$ Следовательно, $(x - 1)(x - 5) < 0$, откуда: $$x \in (1; 5)$$ Решим второе неравенство системы: $$x(x - 4) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (1; 5), \\ x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) \end{cases} \implies x \in (4; 5) $$ **Ответ:** $(4; 5)$