ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 25

а) $\log_{\frac{3}{\sqrt{10}}}(1 - 3x) < 2$ Сравним основание логарифма с единицей: так как $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, то $3 < \sqrt{10}$, следовательно, $0 < \frac{3}{\sqrt{10}} < 1$. Логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, убывает, поэтому при переходе к подлогарифмическому выражению знак неравенства меняется на противоположный: $$ 1 - 3x > \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 $$ $$ 1 - 3x > \frac{9}{10} $$ $$ -3x > \frac{9}{10} - 1 $$ $$ -3x > -\frac{1}{10} $$ Разделим обе части на $-3$, изменив знак неравенства: $$ x < \frac{1}{30} $$ Условие допустимых значений $1 - 3x > 0$ выполняется автоматически, так как $1 - 3x > \frac{9}{10} > 0$. Ответ: $\left(-\infty; \frac{1}{30}\right)$. --- б) $\log_{\sqrt{6}}(2x - 1) > 2$ Так как основание $\sqrt{6} > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ 2x - 1 > (\sqrt{6})^2 $$ $$ 2x - 1 > 6 $$ $$ 2x > 7 $$ $$ x > 3,5 $$ Условие $2x - 1 > 0$ выполняется автоматически, так как $2x - 1 > 6 > 0$. Ответ: $(3,5; +\infty)$. --- в) $\log_{0,5}(x^2 - 1) > -2$ Так как основание $0 < 0,5 < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, при этом подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным. Получаем систему: $$ \begin{cases} x^2 - 1 < (0,5)^{-2} \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} $$ Вычислим правую часть: $(0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$. $$ \begin{cases} x^2 - 1 < 4 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2 < 5 \\ x^2 > 1 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство: 1) $x^2 < 5 \iff -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$; 2) $x^2 > 1 \iff x < -1$ или $x > 1$. Находим пересечение полученных промежутков: $$ x \in (-\sqrt{5}; -1) \cup (1; \sqrt{5}) $$ Ответ: $(-\sqrt{5}; -1) \cup (1; \sqrt{5})$. --- г) $\log_{0,5}(x^2 + 1) < -1$ Так как основание $0 < 0,5 < 1$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 + 1 > (0,5)^{-1} $$ $$ x^2 + 1 > 2 $$ $$ x^2 > 1 $$ Условие $x^2 + 1 > 0$ верно при любых действительных значениях $x$. Решаем неравенство $x^2 > 1$: $$ (x - 1)(x + 1) > 0 \iff x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1 $$ Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.