ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 104

а) $\sin 4x + \sqrt{3}\sin 3x + \sin 2x = 0$ Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ (\sin 4x + \sin 2x) + \sqrt{3}\sin 3x = 0 $$ $$ 2 \sin \frac{4x + 2x}{2} \cos \frac{4x - 2x}{2} + \sqrt{3}\sin 3x = 0 $$ $$ 2 \sin 3x \cos x + \sqrt{3}\sin 3x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки: $$ \sin 3x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 3x = 0$ $$ 3x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$ $$ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. б) $\cos 3x + \sin 5x = \sin x$ Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения: $$ \cos 3x + (\sin 5x - \sin x) = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ \cos 3x + 2 \sin \frac{5x - x}{2} \cos \frac{5x + x}{2} = 0 $$ $$ \cos 3x + 2 \sin 2x \cos 3x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки: $$ \cos 3x (1 + 2\sin 2x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 3x = 0$ $$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $1 + 2\sin 2x = 0$ $$ \sin 2x = -\frac{1}{2} $$ $$ 2x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ $$ x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}, \; m \in \mathbb{Z}$.