ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 103

**103.** **а)** $\sin(0,5\pi + x) + \sin 2x = 0$ Применим формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \cos x + 2\sin x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (1 + 2\sin x) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $1 + 2\sin x = 0$ $$ \sin x = -\frac{1}{2} $$ $$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\cos(0,5\pi + x) + \sin 2x = 0$ Применим формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ -\sin x + 2\sin x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\cos x - 1 = 0$ $$ \cos x = \frac{1}{2} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.