ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 989

По условию задачи: - Общее количество изделий в партии: $N = 20$. - Количество бракованных изделий: $M = 2$. - Количество качественных изделий: $20 - 2 = 18$. - Отдел технического контроля проверяет половину партии, то есть отбирает: $n = 20 : 2 = 10$ изделий. Партия признается годной, если среди 10 проверенных изделий окажется не более одного бракованного, то есть либо 0, либо 1 бракованное изделие. Пусть событие $A$ — «партия признана годной». Рассмотрим противоположное событие $\overline{A}$ — «партия не признана годной». Это произойдет в том случае, если среди проверенных изделий окажется более одного бракованного. Так как всего в партии только 2 бракованных изделия, событие $\overline{A}$ означает, что оба бракованных изделия попали в число 10 проверенных. Найдем вероятность события $\overline{A}$ по классической формуле вероятности: $$ P(\overline{A}) = \frac{m}{n_{\text{общ}}} $$ где $n_{\text{общ}}$ — общее число способов выбрать 10 изделий из 20: $$ n_{\text{общ}} = C_{20}^{10} $$ а $m$ — число благоприятных исходов для события $\overline{A}$ (выбраны оба бракованных изделия из 2 имеющихся и $10 - 2 = 8$ качественных изделий из 18 имеющихся): $$ m = C_2^2 \cdot C_{18}^8 = 1 \cdot C_{18}^8 = C_{18}^8 $$ Вычислим вероятность противоположного события $P(\overline{A})$: $$ P(\overline{A}) = \frac{C_{18}^8}{C_{20}^{10}} = \frac{\dfrac{18!}{8! \cdot 10!}}{\dfrac{20!}{10! \cdot 10!}} = \frac{18!}{8! \cdot 10!} \cdot \frac{10! \cdot 10!}{20!} = \frac{18!}{20!} \cdot \frac{10!}{8!} $$ Упростим полученное выражение: $$ P(\overline{A}) = \frac{1}{19 \cdot 20} \cdot (9 \cdot 10) = \frac{90}{380} = \frac{9}{38} $$ Тогда искомая вероятность того, что партия будет признана годной: $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{9}{38} = \frac{29}{38} $$ Ответ: $\dfrac{29}{38}$