ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 986

Всего в составе поезда находится: $$ 7 + 6 + 1 = 14 \text{ (вагонов)}. $$ Так как вагоны одного типа считаются одинаковыми (неразличимыми между собой), задача сводится к нахождению числа перестановок с повторениями из 14 элементов, среди которых 7 вагонов первого типа (плацкартные), 6 вагонов второго типа (купейные) и 1 вагон третьего типа (вагон-ресторан). Используем формулу перестановок с повторениями: $$ P(k_1, k_2, k_3) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3!} $$ где $n = 14$, $k_1 = 7$, $k_2 = 6$, $k_3 = 1$. Подставим числовые значения: $$ P(7, 6, 1) = \frac{14!}{7! \cdot 6! \cdot 1!} $$ Сократим дробь на $7!$: $$ \frac{14!}{7! \cdot 6! \cdot 1!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6!} $$ Так как $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$, а $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, получаем: $$ \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 720}{720} = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 $$ Выполним умножение: $$ 14 \cdot 13 = 182 $$ $$ 12 \cdot 11 = 132 $$ $$ 182 \cdot 132 = 24\,024 $$ Ответ: 24 024 последовательности.