ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 941

**941.** 1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 13, \\ x - y = 1. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 13. $$ Так как из второго уравнения $x - y = 1$, подставим это значение в первое уравнение: $$ 1 \cdot (x + y) = 13 \implies x + y = 13. $$ Получаем линейную систему: $$ \begin{cases} x + y = 13, \\ x - y = 1. \end{cases} $$ Сложим оба уравнения системы: $$ 2x = 14 \implies x = 7. $$ Подставим найденное значение $x = 7$ во второе уравнение: $$ 7 - y = 1 \implies y = 7 - 1 = 6. $$ Ответ: $(7; 6)$. --- 2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = 23. \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$: $$ (x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + 23, $$ $$ x^2 + 7x = 18, $$ $$ x^2 + 7x - 18 = 0. $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2. $$ $$ x_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2, $$ $$ x_2 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9. $$ Выразим $y$ из второго уравнения исходной системы: $$ 3y = 23 - 7x \implies y = \frac{23 - 7x}{3}. $$ Найдем значение $y$ для каждого корня: 1) Если $x_1 = 2$: $$ y_1 = \frac{23 - 7 \cdot 2}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3. $$ 2) Если $x_2 = -9$: $$ y_2 = \frac{23 - 7 \cdot (-9)}{3} = \frac{23 + 63}{3} = \frac{86}{3} = 28\frac{2}{3}. $$ Ответ: $(2; 3)$, $\left(-9; \frac{86}{3}\right)$.