ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 891

### 1. Решить неравенство: $\frac{5x + 4}{x - 3} < 4$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0 $$ $$ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0 $$ $$ \frac{5x + 4 - 4x + 12}{x - 3} < 0 $$ $$ \frac{x + 16}{x - 3} < 0 $$ Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x = -16$, нуль знаменателя: $x = 3$. Отметим выколотые точки на числовой прямой и определим знаки выражения: * при $x > 3$: знак «$+$»; * при $-16 < x < 3$: знак «$-$»; * при $x < -16$: знак «$+$». Выбираем интервал со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-16; 3)$. --- ### 2. Решить неравенство: $\frac{2}{x - 4} < 1$ Перенесём $1$ в левую часть: $$ \frac{2}{x - 4} - 1 < 0 $$ $$ \frac{2 - (x - 4)}{x - 4} < 0 $$ $$ \frac{6 - x}{x - 4} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x - 6}{x - 4} > 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $x = 6$ и $x = 4$. На числовой прямой получаем интервалы: * при $x > 6$: знак «$+$»; * при $4 < x < 6$: знак «$-$»; * при $x < 4$: знак «$+$». Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$. --- ### 3. Решить неравенство: $\frac{2}{x + 3} \leqslant 4$ Перенесём $4$ в левую часть: $$ \frac{2}{x + 3} - 4 \leqslant 0 $$ $$ \frac{2 - 4(x + 3)}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{2 - 4x - 12}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{-4x - 10}{x + 3} \leqslant 0 $$ Разделим числитель на $-2$ и сменим знак неравенства: $$ \frac{2x + 5}{x + 3} \geqslant 0 $$ Нуль числителя: $2x + 5 = 0 \implies x = -2,5$ (точка закрашенная). Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ (точка выколотая). Расставим знаки на интервалах методом интервалов: * при $x \geqslant -2,5$: знак «$+$»; * при $-3 < x \leqslant -2,5$: знак «$-$»; * при $x < -3$: знак «$+$». Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2,5; +\infty)$. --- ### 4. Решить неравенство: $8x^2 - 2x - 1 < 0$ Найдём корни квадратного трёхчлена $8x^2 - 2x - 1 = 0$: $$ D_1 = (-1)^2 - 8 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{8} \implies x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} $$ Разложим левую часть на множители: $$ 8\left(x + \frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) < 0 $$ График функции $y = 8x^2 - 2x - 1$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между её корнями. Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right)$. --- ### 5. Решить неравенство: $5x^2 + 7x \leqslant 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(5x + 7) \leqslant 0 $$ Корни уравнения $x(5x + 7) = 0$: $$ x_1 = -\frac{7}{5} = -1,4; \quad x_2 = 0 $$ Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому выражение неположительно на отрезке между корнями, включая концы. Ответ: $x \in [-1,4; 0]$. --- ### 6. Решить неравенство: $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0$ Разложим числитель и знаменатель по формуле разности квадратов: $$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} < 0 $$ Нули числителя: $x = \pm 3$. Нули знаменателя: $x = \pm 2$. Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-3, -2, 2, 3$. Все точки выколотые. Знаки на интервалах справа налево чередуются, начиная со знака «$+$»: * $(3; +\infty)$: знак «$+$»; * $(2; 3)$: знак «$-$»; * $(-2; 2)$: знак «$+$»; * $(-3; -2)$: знак «$-$»; * $(-\infty; -3)$: знак «$+$». Выбираем интервалы со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$. --- ### 7. Решить неравенство: $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$ Заметим, что для любого действительного числа $x$ выражение $2x^2 \geqslant 0$, следовательно: $$ 2x^2 + 3 > 0 $$ Так как первый множитель строго положителен при всех $x \in \mathbb{R}$, разделим на него обе части неравенства: $$ (x + 4)^3 > 0 $$ Нечётная степень числа сохраняет его знак: $$ x + 4 > 0 \implies x > -4 $$ Ответ: $x \in (-4; +\infty)$. --- ### 8. Решить неравенство: $\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geqslant 0$ Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: $3(x - 5)$; * Знаменатель: по теореме Виета корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ равны $-7$ и $2$, то есть $x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{3(x - 5)}{(x + 7)(x - 2)} \geqslant 0 $$ Разделим обе части на $3$: $$ \frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} \geqslant 0 $$ Нуль числителя: $x = 5$ (включается). Нули знаменателя: $x = -7$ и $x = 2$ (исключаются). Определим знаки методом интервалов: * при $x \geqslant 5$: знак «$+$»; * при $2 < x \leqslant 5$: знак «$-$»; * при $-7 < x < 2$: знак «$+$»; * при $x < -7$: знак «$-$». Ответ: $x \in (-7; 2) \cup [5; +\infty)$. --- ### 9. Решить неравенство: $\frac{x - 1}{x^2 + 4x + 2} < 0$ Найдём корни знаменателя $x^2 + 4x + 2 = 0$: $$ D_1 = 2^2 - 1 \cdot 2 = 4 - 2 = 2 $$ $$ x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2} $$ Разложим знаменатель на множители: $$ \frac{x - 1}{(x - (-2 + \sqrt{2}))(x - (-2 - \sqrt{2}))} < 0 $$ Оценим взаимное расположение нулей числителя и знаменателя: * $-2 - \sqrt{2} \approx -3,41$; * $-2 + \sqrt{2} \approx -0,59$; * $1$. Получаем порядок: $-2 - \sqrt{2} < -2 + \sqrt{2} < 1$. Все множители имеют первую степень, знаки на интервалах чередуются, при $x > 1$ выражение положительно: * $(1; +\infty)$: знак «$+$»; * $(-2 + \sqrt{2}; 1)$: знак «$-$»; * $(-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$: знак «$+$»; * $(-\infty; -2 - \sqrt{2})$: знак «$-$». Ответ: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; 1)$. --- ### 10. Решить неравенство: $\frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 2x - 3} > 0$ Разложим на множители числитель и знаменатель: * Числитель: $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ (корни $-4$ и $2$); * Знаменатель: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ (корни $3$ и $-1$). Неравенство принимает вид: $$ \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x - 3)(x + 1)} > 0 $$ Нанесём нули числителя и знаменателя на числовую прямую: $-4, -1, 2, 3$. Все точки выколотые. Знаки на интервалах справа налево чередуются, начиная со знака «$+$»: * $(3; +\infty)$: знак «$+$»; * $(2; 3)$: знак «$-$»; * $(-1; 2)$: знак «$+$»; * $(-4; -1)$: знак «$-$»; * $(-\infty; -4)$: знак «$+$». Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty)$. --- ### 11. Решить неравенство: $\frac{(x - 5)\left(2^{x-1} + 0,2\right)}{x + 2} \leqslant 0$ Показательная функция принимает только положительные значения: $2^{x-1} > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$. Следовательно: $$ 2^{x-1} + 0,2 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Разделим обе части неравенства на положительное выражение $2^{x-1} + 0,2$, при этом знак неравенства не изменится: $$ \frac{x - 5}{x + 2} \leqslant 0 $$ Нуль числителя: $x = 5$ (точка закрашенная). Нуль знаменателя: $x = -2$ (точка выколотая). Применим метод интервалов: * при $x \geqslant 5$: знак «$+$»; * при $-2 < x \leqslant 5$: знак «$-$»; * при $x < -2$: знак «$+$». Выбираем интервал со знаком «$-$». Ответ: $x \in (-2; 5]$.