ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 892

**892.** **1)** Решить неравенство: $$ |2x - 5| \leqslant 3 $$ Неравенство вида $|f(x)| \leqslant a$ при $a \geqslant 0$ равносильно двойному неравенству: $$ -3 \leqslant 2x - 5 \leqslant 3 $$ Прибавим $5$ ко всем частям неравенства: $$ 2 \leqslant 2x \leqslant 8 $$ Разделим все части неравенства на $2$: $$ 1 \leqslant x \leqslant 4 $$ Ответ: $x \in [1; 4]$. --- **2)** Решить неравенство: $$ |5x - 9| > 4 $$ Неравенство вида $|f(x)| > a$ при $a > 0$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} 5x - 9 > 4, \\ 5x - 9 < -4 \end{array} \right. $$ Решим каждое неравенство совокупности: $$ \left[ \begin{array}{l} 5x > 13, \\ 5x < 5 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{l} x > 2,6, \\ x < 1 \end{array} \right. $$ Объединяя полученные решения, получаем: $$ x \in (-\infty; 1) \cup (2,6; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2,6; +\infty)$. --- **3)** Решить неравенство: $$ |2 - 3x| < x + 1 $$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} 2 - 3x < x + 1, \\ 2 - 3x > -(x + 1) \end{cases} $$ Преобразуем неравенства системы: $$ \begin{cases} -3x - x < 1 - 2, \\ 2 - 3x > -x - 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -4x < -1, \\ -3x + x > -1 - 2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > \dfrac{1}{4}, \\ -2x > -3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 0,25, \\ x < 1,5 \end{cases} $$ Пересечением решений системы является интервал: $$ 0,25 < x < 1,5 $$ Ответ: $x \in (0,25; 1,5)$. --- **4)** Решить неравенство: $$ |1 + 2x| \geqslant 3 - x $$ Неравенство вида $|f(x)| \geqslant g(x)$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} 1 + 2x \geqslant 3 - x, \\ 1 + 2x \leqslant -(3 - x) \end{array} \right. $$ Решим каждое неравенство совокупности: $$ \left[ \begin{array}{l} 2x + x \geqslant 3 - 1, \\ 1 + 2x \leqslant -3 + x \end{array} \right. $$ $$ \left[ \begin{array}{l} 3x \geqslant 2, \\ 2x - x \leqslant -3 - 1 \end{array} \right. $$ $$ \left[ \begin{array}{l} x \geqslant \dfrac{2}{3}, \\ x \leqslant -4 \end{array} \right. $$ Объединяя полученные решения, получаем: $$ x \in (-\infty; -4] \cup \left[\dfrac{2}{3}; +\infty\right) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \left[\dfrac{2}{3}; +\infty\right)$.