ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 890

**1)** Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0 $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле разности квадратов: $$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} < 0 $$ Найдем нули числителя и знаменателя: - нули числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$; $x + 3 = 0 \implies x = -3$; - нули знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми: $-3$, $-2$, $2$, $3$. Определим знаки выражения $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}$ на образовавшихся интервалах: - при $x > 3$ (например, $x = 4$): $\frac{(4-3)(4+3)}{(4-2)(4+2)} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 6} > 0$ (знак «$+$»); - при $2 < x < 3$ (например, $x = 2{,}5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$ (знак «$-$»); - при $-2 < x < 2$ (например, $x = 0$): $\frac{-9}{-4} = \frac{9}{4} > 0$ (знак «$+$»); - при $-3 < x < -2$ (например, $x = -2{,}5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} < 0$ (знак «$-$»); - при $x < -3$ (например, $x = -4$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ (знак «$+$»). Так как требуется определить, где выражение строго меньше нуля, выбираем интервалы со знаком «$-$»: $$ x \in (-3; -2) \cup (2; 3) $$ **Ответ:** $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$. --- **2)** Решим неравенство: $$ (2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0 $$ Заметим, что для любого действительного числа $x$ выражение $x^2 \geqslant 0$, следовательно: $$ 2x^2 + 3 \geqslant 3 > 0 $$ Так как первый множитель $2x^2 + 3$ положителен при всех $x \in \mathbb{R}$, разделим обе части неравенства на $2x^2 + 3$, при этом знак неравенства сохраняется: $$ (x + 4)^3 > 0 $$ Поскольку показатель степени нечетный, знак степени совпадает со знаком основания: $$ x + 4 > 0 $$ $$ x > -4 $$ В виде интервала: $x \in (-4; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-4; +\infty)$.