ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 888

**1)** Решим неравенство: $$ \frac{5x + 4}{x - 3} < 4 $$ Перенесём слагаемое из правой части в левую: $$ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{5x + 4 - 4x + 12}{x - 3} < 0 $$ $$ \frac{x + 16}{x - 3} < 0 $$ Применим метод интервалов: * нуль числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$; * нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Отметим полученные точки на числовой прямой (обе точки выколотые, так как неравенство строгое): * при $x > 3$ дробь положительна ($+$); * при $-16 < x < 3$ дробь отрицательна ($-$) ; * при $x < -16$ дробь положительна ($+$). Выбираем интервал со знаком «$-$»: $$ x \in (-16; 3) $$ Ответ: $(-16; 3)$. --- **2)** Решим неравенство: $$ \frac{2}{x - 4} < 1 $$ Перенесём $1$ в левую часть неравенства: $$ \frac{2}{x - 4} - 1 < 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{2 - (x - 4)}{x - 4} < 0 $$ $$ \frac{2 - x + 4}{x - 4} < 0 $$ $$ \frac{6 - x}{x - 4} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x - 6}{x - 4} > 0 $$ Применим метод интервалов: * нуль числителя: $x = 6$; * нуль знаменателя: $x = 4$. Обе точки выколотые. Расставим знаки на интервалах: * при $x > 6$ дробь положительна ($+$); * при $4 < x < 6$ дробь отрицательна ($-$) ; * при $x < 4$ дробь положительна ($+$). Выбираем интервалы со знаком «$+$»: $$ x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$. --- **3)** Решим неравенство: $$ \frac{2}{x + 3} \leqslant 4 $$ Перенесём $4$ в левую часть неравенства: $$ \frac{2}{x + 3} - 4 \leqslant 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{2 - 4(x + 3)}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{2 - 4x - 12}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{-4x - 10}{x + 3} \leqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{2x + 5}{x + 3} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: * нуль числителя: $2x + 5 = 0 \implies x = -2{,}5$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое); * нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ (точка выколотая, так как делить на ноль нельзя). Определим знаки дроби на интервалах: * при $x > -2{,}5$ дробь положительна ($+$); * при $-3 < x < -2{,}5$ дробь отрицательна ($-$) ; * при $x < -3$ дробь положительна ($+$). Выбираем интервалы со знаком «$+$», включая точку числителя: $$ x \in (-\infty; -3) \cup [-2{,}5; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -3) \cup [-2{,}5; +\infty)$.