ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 885

Преобразуем левую часть уравнения $\sin^8 x + \cos^8 x = a$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла: $$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$$ Тогда выражение $\sin^8 x + \cos^8 x$ можно представить как: $$\sin^8 x + \cos^8 x = (\sin^4 x + \cos^4 x)^2 - 2\sin^4 x \cos^4 x = \left(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x\right)^2 - 2\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^4$$ Раскроем скобки: $$\sin^8 x + \cos^8 x = 1 - \sin^2 2x + \frac{1}{4}\sin^4 2x - \frac{1}{8}\sin^4 2x = \frac{1}{8}\sin^4 2x - \sin^2 2x + 1$$ Пусть $t = \sin^2 2x$. Так как $0 \le \sin^2 2x \le 1$, то $t \in [0; 1]$. Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{8}t^2 - t + 1 = a$$ Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = \frac{1}{8}t^2 - t + 1$ при $t \in [0; 1]$. Ветви параболы направлены вверх, а абсцисса её вершины равна: $$t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{8}} = 4$$ Так как $t_0 = 4 > 1$, на отрезке $[0; 1]$ функция $f(t)$ монотонно убывает. Следовательно, её наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка: $$f_{\max} = f(0) = 1$$ $$f_{\min} = f(1) = \frac{1}{8} \cdot 1^2 - 1 + 1 = \frac{1}{8}$$ Множество значений функции $f(t)$ на отрезке $[0; 1]$ есть $\left[\frac{1}{8}; 1\right]$. Таким образом, уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда: $$a \in \left[\frac{1}{8}; 1\right]$$ Решим уравнение относительно $t$: $$t^2 - 8t + 8(1 - a) = 0$$ Найдем корни через четверть дискриминанта: $$\frac{D}{4} = (-4)^2 - 1 \cdot 8(1 - a) = 16 - 8 + 8a = 8(1 + a)$$ Так как $a \ge \frac{1}{8}$, то $8(1 + a) > 0$: $$t_{1, 2} = 4 \pm \sqrt{8(1 + a)} = 4 \pm 2\sqrt{2(1 + a)}$$ Поскольку $t \in [0; 1]$, корень $t_1 = 4 + 2\sqrt{2(1 + a)} > 1$ не подходит. Остается единственный корень: $$t = 4 - 2\sqrt{2(1 + a)}$$ Вернемся к переменной $x$: $$\sin^2 2x = 4 - 2\sqrt{2(1 + a)}$$ Воспользуемся формулой $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$: $$\cos 4x = 1 - 2\left(4 - 2\sqrt{2(1 + a)}\right) = 1 - 8 + 4\sqrt{2(1 + a)} = 4\sqrt{2(1 + a)} - 7$$ Так как $a \in \left[\frac{1}{8}; 1\right]$, значение выражения $4\sqrt{2(1 + a)} - 7$ лежит в пределах $[-1; 1]$. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $$4x = \pm \arccos\left(4\sqrt{2(1 + a)} - 7\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{1}{4}\arccos\left(4\sqrt{2(1 + a)} - 7\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: уравнение имеет корни при $a \in \left[\frac{1}{8}; 1\right]$; корни уравнения: $x = \pm \frac{1}{4}\arccos\left(4\sqrt{2(1 + a)} - 7\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.